Banyaknya cara 2023 dinyatakan sebagai jumlahan dari dua bilangan asli

Berikut ini adalah pertanyaan dari farelputratama09 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Banyaknya cara 2023 dinyatakan sebagai jumlahan dari dua bilangan asli berurutan ataulebih adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

10 cara

Nilai n (banyak suku) yang memenuhi 2, 7, 14, 17, 34, 119, 238, 289, 578, 2023

Penjelasan dengan langkah-langkah

Tinjau jumlah & suku deret aritmatika

$S_n = \frac{n(U_1+U_n)}{2}$

$U_n = a + b(n-1)$

Subtitusikan kedua persamaan diatas dan cari persamaan tertutup untuk a

$S_n = \frac{n(a + a + b(n-1))}{2}$

$S_n = \frac{n(2a+bn-b)}{2}$

$S_n = \frac{bn^2 + 2an - bn}{2}$

$2S_n = bn^2 + 2an - bn$

$2S_n - bn^2 + bn = 2an$

$a = \frac{2S_n - bn^2 + bn}{2n}$

Ingat bahwa soal meminta hasil jumlah dua atau lebih bilangan asli berurutan yang menghasilkan 2023.

Dengan fakta tersebut, dapat ditentukan beberapa statement

$S_n = 2023$

$b=1$

$a, b, n \in \mathbb{N}$

Perhatikan bahwa a merupakan bilangan asli, maka

$2n \mid (2S_n - bn^2 + bn)$

Dinyatakan dalam bentuk aritmatika modular

$2S_n - bn^2 + bn \equiv 0 \mod 2n$

Subtitusikan nilai-nilai yang sudah diketahui

$2(2023) - (1)n^2 + (1)n \equiv 0 \mod 2n$

$2 \cdot 2023 - n^2 + n \equiv 0 \mod 2n$

Kalikan persamaan dengan 2

$2 \cdot 2 \cdot 2023 - 2n^2 + 2n \equiv 2\cdot 0 \mod 2n$

$2^2 \cdot 2023 - 2n^2 + 2n \equiv 0 \mod 2n$

$2^2 \cdot 2023 - 2n \cdot n + 2n \equiv 0 \mod 2n$

Perhatikan bahwa

$2n \mid - 2n \cdot n$

Sehingga persamaan menjadi

$2^2 \cdot 2023 \equiv 0 \mod 2n$

Kalikan dengan modular invers 2 pada modulus dan persamaan

$2^2 \cdot 2023 \cdot 2^{-1} \equiv 0 \mod (2n \cdot 2^{-1})$

$2 \cdot 2023 \equiv 0 \mod n$

Dengan sedikit kalkulasi manual, didapatkan $2023 = 7 * 17^2$ sehingga

$2 \cdot 7 \cdot 17^2 \equiv 0 \mod n$

Dengan persamaan tersebut dapat dibentuk himpunan semesta solusi untuk n

$S = \{n \mid (n \mid 2 \cdot 7 \cdot 17^2), n \in \mathbb{N} \}$

Solusi akhir dapat dikalkulasikan & filtering secara manual karena himpunan semesta nilai n relatif sedikit ( $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ nilai n yang memenuhi persamaan aritmatika modular diatas).

Namun terdapat pernyataan dari soal yang dapat menjadi pembatas nilai n. Secara eksplisit, soal meminta dua atau lebih bilangan asli, sehingga n lebih besar daripada 1. Selain itu n merupakan suku dari deret aritmatika dan b bernilai positif, sehingga dapat disimpulkan bahwa n semestinya bernilai sama atau dibawah 2023. Digabungkan, nilai n terbatas dengan

$1 < n \leq 2023$

Maka didapat solusi untuk n seperti berikut

$A = \{ 2, 7, 2\cdot7, 17, 2\cdot17, 7\cdot17, 2\cdot7\cdot17, 17\cdot17, 2\cdot17\cdot17, 7\cdot17\cdot17 \}$

$A = \{ 2, 7, 14, 17, 34, 119, 238, 289, 578, 2023 \}$

Dua nilai yang tidak memenuhi adalah

$S - A = \{ 1, 4046\}$

Sehingga solusi untuk soal adalah 10 cara untuk partisi bilangan asli 2023 menggunakan deret aritmatika.

Terlampir screenshot python untuk sanity check.

$Jawab:10 caraNilai n (banyak suku) yang memenuhi 2, 7, 14, 17, 34, 119, 238, 289, 578, 2023Penjelasan dengan langkah-langkahTinjau jumlah & suku deret aritmatika[tex]S_n = \frac{n(U_1+U_n)}{2}[/tex][tex]U_n = a + b(n-1)[/tex]Subtitusikan kedua persamaan diatas dan cari persamaan tertutup untuk a[tex]S_n = \frac{n(a + a + b(n-1))}{2}[/tex][tex]S_n = \frac{n(2a+bn-b)}{2}[/tex][tex]S_n = \frac{bn^2 + 2an - bn}{2}[/tex][tex]2S_n = bn^2 + 2an - bn[/tex][tex]2S_n - bn^2 + bn = 2an[/tex][tex]a = \frac{2S_n - bn^2 + bn}{2n}[/tex]Ingat bahwa soal meminta hasil jumlah dua atau lebih bilangan asli berurutan yang menghasilkan 2023. Dengan fakta tersebut, dapat ditentukan beberapa statement[tex]S_n = 2023[/tex][tex]b=1[/tex][tex]a, b, n \in \mathbb{N}[/tex]Perhatikan bahwa a merupakan bilangan asli, maka[tex]2n \mid (2S_n - bn^2 + bn)[/tex]Dinyatakan dalam bentuk aritmatika modular[tex]2S_n - bn^2 + bn \equiv 0 \mod 2n[/tex]Subtitusikan nilai-nilai yang sudah diketahui[tex]2(2023) - (1)n^2 + (1)n \equiv 0 \mod 2n[/tex][tex]2 \cdot 2023 - n^2 + n \equiv 0 \mod 2n[/tex]Kalikan persamaan dengan 2[tex]2 \cdot 2 \cdot 2023 - 2n^2 + 2n \equiv 2\cdot 0 \mod 2n[/tex][tex]2^2 \cdot 2023 - 2n^2 + 2n \equiv 0 \mod 2n[/tex][tex]2^2 \cdot 2023 - 2n \cdot n + 2n \equiv 0 \mod 2n[/tex]Perhatikan bahwa[tex]2n \mid - 2n \cdot n[/tex]Sehingga persamaan menjadi[tex]2^2 \cdot 2023 \equiv 0 \mod 2n[/tex]Kalikan dengan modular invers 2 pada modulus dan persamaan[tex]2^2 \cdot 2023 \cdot 2^{-1} \equiv 0 \mod (2n \cdot 2^{-1})[/tex][tex]2 \cdot 2023 \equiv 0 \mod n[/tex]Dengan sedikit kalkulasi manual, didapatkan [tex]2023 = 7 * 17^2[/tex] sehingga[tex]2 \cdot 7 \cdot 17^2 \equiv 0 \mod n[/tex]Dengan persamaan tersebut dapat dibentuk himpunan semesta solusi untuk n[tex]S = \{n \mid (n \mid 2 \cdot 7 \cdot 17^2), n \in \mathbb{N} \}[/tex]Solusi akhir dapat dikalkulasikan & filtering secara manual karena himpunan semesta nilai n relatif sedikit ([tex]2 \cdot 2 \cdot 3 = 12[/tex] nilai n yang memenuhi persamaan aritmatika modular diatas). Namun terdapat pernyataan dari soal yang dapat menjadi pembatas nilai n. Secara eksplisit, soal meminta dua atau lebih bilangan asli, sehingga n lebih besar daripada 1. Selain itu n merupakan suku dari deret aritmatika dan b bernilai positif, sehingga dapat disimpulkan bahwa n semestinya bernilai sama atau dibawah 2023. Digabungkan, nilai n terbatas dengan[tex]1 < n \leq 2023[/tex]Maka didapat solusi untuk n seperti berikut[tex]A = \{ 2, 7, 2\cdot7, 17, 2\cdot17, 7\cdot17, 2\cdot7\cdot17, 17\cdot17, 2\cdot17\cdot17, 7\cdot17\cdot17 \}[/tex][tex]A = \{ 2, 7, 14, 17, 34, 119, 238, 289, 578, 2023 \}[/tex]Dua nilai yang tidak memenuhi adalah[tex]S - A = \{ 1, 4046\}[/tex]Sehingga solusi untuk soal adalah 10 cara untuk partisi bilangan asli 2023 menggunakan deret aritmatika.Terlampir screenshot python untuk sanity check.$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh TanurRizal dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 17 Apr 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Banyaknya cara 2023 dinyatakan sebagai jumlahan dari dua bilangan asli

Jawaban dan Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika