Jawab:

Untuk menemukan deret Taylor dari fungsi f(x) = 1/(x^2 + 1) di sekitar titik a = 1, kita perlu menghitung turunan-turunan dari fungsi tersebut dan mengevaluasinya pada titik a.

Pertama, kita dapat menghitung turunan-turunan dari fungsi f(x) = 1/(x^2 + 1). Mari kita mulai dengan menghitung turunan pertama:

f'(x) = d/dx [1/(x^2 + 1)]

Menggunakan aturan rantai, kita dapat menghitung turunan ini sebagai berikut:

f'(x) = -2x/(x^2 + 1)^2

Selanjutnya, kita akan menghitung turunan kedua:

f''(x) = d/dx [-2x/(x^2 + 1)^2]

Menggunakan aturan rantai dan aturan turunan dari fungsi rasional, kita dapat menghitung turunan ini sebagai berikut:

f''(x) = (6x^2 - 2)/(x^2 + 1)^3

Setelah itu, kita akan menghitung turunan ketiga:

f'''(x) = d/dx [(6x^2 - 2)/(x^2 + 1)^3]

Dengan menggunakan aturan rantai dan aturan turunan dari fungsi rasional, kita dapat menghitung turunan ini sebagai berikut:

f'''(x) = (24x - 18x^3)/(x^2 + 1)^4

Selanjutnya, kita akan mengevaluasi turunan-turunan ini pada titik a = 1 untuk mendapatkan koefisien dalam deret Taylor:

f(1) = 1/(1^2 + 1) = 1/2

f'(1) = -2(1)/(1^2 + 1)^2 = -1/2

f''(1) = (6(1)^2 - 2)/(1^2 + 1)^3 = 2/8 = 1/4

f'''(1) = (24(1) - 18(1)^3)/(1^2 + 1)^4 = 6/16 = 3/8

Dengan menggunakan koefisien-koefisien ini, deret Taylor dari fungsi f(x) = 1/(x^2 + 1) di sekitar a = 1 adalah:

f(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)(x - 1)^2/2! + f'''(1)(x - 1)^3/3! + ...

f(x) = 1/2 - 1/2(x - 1) + 1/8(x - 1)^2 - 1/48(x - 1)^3 + ...

Ini adalah deret Taylor tak hingga dari fungsi f(x) = 1/(x^2 + 1) di sekitar a = 1.