Pembuktian Identitas Trigonometri

(Dengan metode kesekawanan)

(i) tan (½ x) = √(1 – cos x) ÷ √(1 + cos x) = (1 – cos x) ÷ sin x

Terdapat tiga ruas pada persamaan. Maka, perlu dibuktikan bahwa:

• tan (½ x) = √(1 – cos x) ÷ √(1 + cos x)
• √(1 – cos x) ÷ √(1 + cos x) = (1 – cos x) ÷ sin x

Pembuktian 1: tan (½ x) = √(1 - cos x) ÷ √(1 + cos x)

Ruas kiri = tan (½ x)
= sin (½ x) ÷ cos (½ x)
= [± (√(1 – cos x) ÷ √2)] ÷ [± (√(1 + cos x) ÷ √2)]
= ± [√(1 – cos x) ÷ √(1 + cos x)]
Catatan:
Tanda “±” tetap harus ada karena tergantung pada kuadran di mana x berada. Namun, secara umum, dapat diabaikan terlebih dahulu.
⇒ tan (½ x) = √(1 - cos x) ÷ √(1 + cos x) terbukti.

Pembuktian 2: √(1 - cos x) ÷ √(1 + cos x) = (1 – cos x) ÷ sin x
Pembagi atau penyebut = √(1 + cos x).
Bentuk sekawan atau konjugatnya adalah √(1 – cos x).
Maka:
Ruas kiri = √(1 – cos x) ÷ √(1 + cos x)
= [√(1 – cos x)√(1 – cos x)] ÷ [√(1 + cos x)√(1 – cos x)]
= √(1 – cos x)² ÷ √(1 – cos² x)
= (1 – cos x) ÷ √(sin² x)
= (1 – cos x) ÷ √(sin x)²
= (1 – cos x) ÷ sin x = ruas kanan
⇒ √(1 - cos x) ÷ √(1 + cos x) = (1 – cos x) ÷ sin x terbukti.

KESIMPULAN
∴  tan (½ x) = √(1 – cos x) ÷ √(1 + cos x) = (1 – cos x) ÷ sin x terbukti.
______________

(ii) (sec x – tan x)² = (1 – sin x) ÷ (1 + sin x)

Operasi pembagian, atau bentuk rasional, terdapat pada ruas kanan persamaan. Karena kita ingin membuktikan dengan kesekawanan, kita mulai dari ruas kanan.
Pembagi atau penyebut = (1 + sin x)
Bentuk sekawan atau konjugatnya adalah (1 – sin x)
Maka:
Ruas kanan = (1 – sin x) ÷ (1 + sin x)
= [(1 – sin x)(1 – sin x)] ÷ [(1 + sin x)(1 – sin x)]
= (1 – 2 sin x + sin² x) ÷ (1 – sin² x)
= (1 – 2 sin x + sin² x) ÷ (cos² x)
= 1/(cos² x) – (2 sin x)/(cos² x) + (sin² x)/(cos² x)
= sec² x – 2(1/cos x)(sin x/cos x) + tan² x
= sec² x – 2(sec x)(tan x) + tan² x
    ⇒ merupakan bentuk a² – 2ab + b² = (a – b)²
    ⇒ a = sec x,  b = tan x
= (sec x – tan x)² = ruas kiri
⇒ terbukti.

KESIMPULAN
∴  (sec x – tan x)² = (1 – sin x) ÷ (1 + sin x) terbukti.