ini jawabannya apa kk?

Berikut ini adalah pertanyaan dari farelputratama09 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Ini jawabannya apa kk?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Misalkan $a$ adalah salah satu akar polinomialx² – x – 3. Nilai dari
$\dfrac{9a^3+9}{a^5-a^4-a^3+a^2}$
adalah 4.
________________

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Jika $a$ adalah salah satu akar polinomial x² – x – 3, maka $x = a$ memenuhi:
x² – x – 3 = 0
⇒ a² – a – 3 = 0
⇒ a² – a = 3

Nilai dari
$\dfrac{9a^3+9}{a^5-a^4-a^3+a^2}$
dapat ditentukan sebagai berikut.

$\begin{aligned}&\frac{9a^3+9}{a^5-a^4-a^3+a^2}\\&=9\left(\frac{a^3+1}{a^5-a^4-a^3+a^2}\right)\\&\quad\rightarrow\textsf{Faktorkan terhadap $(a+1)$.}\\&=9\left(\frac{\cancel{(a+1)}\left(a^2-a+1\right)}{\cancel{(a+1)}\left(a^4-2a^3+a^2\right)}\right)\\&=9\left(\frac{\left(a^2-a\right)+1}{a^4-2a^3+a^2}\right)\\&=9\left(\frac{\left(a^2-a\right)+1}{\left(a^2-a\right)^2}\right)\\&\quad\rightarrow\textsf{Substitusi $\left(a^2-a\right)\leftarrow3$.}\\&=9\left(\frac{3+1}{3^2}\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\cancel{9}\left(\frac{4}{\cancel{9}}\right)\\&=\boxed{\,\bf4\,}\end{aligned}$

Jika belum yakin dengan perhitungan di atas, kita cari saja akar-akar dari x² – x – 3 = 0.

$\begin{aligned}a_{1,2}&=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}\\&\quad(A=1,\ B=-1,\ C=-3)\\a_{1,2}&=\frac{1\pm\sqrt{1-(-12)}}{2}\\a_{1,2}&=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\\\end{aligned}$

Nilai kuadrat dan pangkat-3-nya:

$\begin{aligned}a^2&=\left(\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\right)^2\\&=\frac{1+13\pm2\sqrt{13}}{4}\\&=\frac{14\pm2\sqrt{13}}{4}\\a^2&=\frac{7\pm\sqrt{13}}{2}\\....&..........................................\\a^3&=a^2a\\&=\frac{7\pm\sqrt{13}}{2}\cdot\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\\&=\frac{7\pm\sqrt{13}\pm7\sqrt{13}+13}{4}\\&=\frac{20\pm8\sqrt{13}}{4}\\a^3&=5\pm2\sqrt{13}\\\end{aligned}$

Maka:

$\begin{aligned}&\frac{9a^3+9}{a^5-a^4-a^3+a^2}\\&{=\ }9\left(\frac{a^3+1}{a^2\left(a^3-a^2-a+1\right)}\right)\\&{=\ }9\left(\frac{5\pm2\sqrt{13}+1}{\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{2}\left(5\pm2\sqrt{13}-\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{2}-\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}+1\right)}\right)\\&{=\ }\frac{18}{7\pm\sqrt{13}}\left(\frac{6\pm2\sqrt{13}}{5\pm2\sqrt{13}-\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{2}-\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}+1}\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\frac{18}{7\pm\sqrt{13}}\left(\frac{6\pm2\sqrt{13}}{\dfrac{10\pm4\sqrt{13}-7\mp\sqrt{13}-1\mp\sqrt{13}+2}{2}}\right)\\&{=\ }\frac{36}{7\pm\sqrt{13}}\left(\frac{6\pm2\sqrt{13}}{4+\sqrt{13}(\pm4\mp1\mp1)}\right)\\&{=\ }\frac{36}{7\pm\sqrt{13}}\left(\frac{6\pm2\sqrt{13}}{4+\sqrt{13}(\pm2)}\right)\\&{=\ }\frac{36}{7\pm\sqrt{13}}\left(\frac{6\pm2\sqrt{13}}{4\pm2\sqrt{13}}\right)\\&{=\ }\frac{36}{7\pm\sqrt{13}}\left(\frac{3\pm\sqrt{13}}{2\pm\sqrt{13}}\right)\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\frac{36\left(3\pm\sqrt{13}\right)}{14+13\pm9\sqrt{13}}\\&{=\ }\frac{36\left(3\pm\sqrt{13}\right)}{27\pm9\sqrt{13}}\\&{=\ }\frac{36\cancel{\left(3\pm\sqrt{13}\right)}}{9\cancel{\left(3\pm\sqrt{13}\right)}}\\&{=\ }\frac{36}{9}=\boxed{\,\bf4\,}\ \Rightarrow \sf benar!\end{aligned}$