1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui suatu fungsi [tex] F(x) = \displaystyle \int\limits_1^{x^2} {\ln(t)} \,

Berikut ini adalah pertanyaan dari samuel312021058 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui suatu fungsi F(x) = \displaystyle \int\limits_1^{x^2} {\ln(t)} \, \mathrm dt . Tentukan nilai turunan dari fungsi tersebut (F'(x) ).

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab: 4x\ln(x)

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menjawab soal berikut, mari kita bahas tentang teorema dasar kalkulus. Teorema dasar kalkulus itu terdiri dari dua bagian, yakni sebagai berikut.

1. Teorema Dasar Kalkulus I

Teorema ini mengacu pada perhitungan integral tentu, yang biasanya dilakukan dengan cara menggunakan konsep antiturunan atau antiderivative yang kemudian kita aplikasikan batas-batas integral tersebut kedalam variabel yang diberikan, sehingga menghasilkan angka sebagai hasil akhirnya.

\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \,\mathrm dx= F(x)\Bigg|^b_a= F(b)-F(a)

Misalnya, \displaystyle \int\limits_1^2 x^3 \,\mathrm dx =\dfrac{x^{3+1}}{3+1}=\left.\dfrac{x^4}{4}\right|^2_1 =\frac{2^4}{4}-\frac{1^4}{4}=\frac{16}{4}-\frac14=\frac{15}{4} =3\frac{3}{4}.

2. Teorema Dasar Kalkulus II

Secara singkat, teorema ini menyatakan hubungan yang saling berkaitan antara integral/antiturunan (antiderivative) dengan turunan (derivative) sebagai dua operator yang berkebalikan antara yang satu dengan yang lain melalui, integral tentu. Teorema ini dapat diekspresikan sebagai berikut.

\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[\displaystyle\int\limits^x_a {F(t)} \, \mathrm dt \right]= F(x)

Akan tetapi, dalam teorema ini kita tidak perlu mengintegralkan fungsinya terlebih dahulu dan kemudian menghitung turunannya. Karena hal ini seperti mengulang apa yang telah anda kerjakan ketika anda mengintegralkan, lalu anda menulis ulang lagi bentuk semula sebelum diintegralkan, karena integral adalah kebalikan dari turunan.

######################################################

Diketahui suatu fungsi F(x) = \displaystyle\int\limits^{x^2}_1 {\ln(t)} \, \mathrm dt. Tentukan nilai turunan dari fungsi tersebut, F'(x).

Untuk menentukan fungsi ini, kita dapat menggunakan Aturan Rantai turunan. Rumus untuk menggunakan Aturan Rantai dalam Teorema Dasar Kalkulus II ini adalah sebagai berikut.

\displaystyle\frac{\mathrm dF(x)}{\mathrm dx} =\frac{\mathrm dF(x)}{\mathrm du}\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}

Maksud dari rumus tersebut adalah, \dfrac{\mathrm dF(x)}{\mathrm du}artinya\dfrac{\mathrm d}{\mathrm du}\left[\displaystyle\int\limits^u_a {F(t)} \, \mathrm dt \right], dimana u adalah variabel/suku yang kita asumsikan sebagai u, misalnya Anda mengasumsikan a sebagai u maka itulah yang Anda taruh di batas atas integral tersebut, dan \dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}adalah turunan dari variabel yang Anda asumsikan dalamu.

Nah dalam soal ini, kita dapat melakukan aturan rantai (chain rule) dengan mengasumsikan bahwa, x^2=u. Maka,

\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[ \displaystyle\int\limits^{x^2}_1 {\ln(t)} \, \mathrm dt \right] = \frac{\mathrm d}{\mathrm du}\left[ \int\limits_{1}^{u}\ln(t) \,\mathrm dt \right]\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}

Setelah melakukan aturan rantai, kita bisa menyelesaikan turunan pada fungsi diintegral tersebut.

\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm du}\left[ \int\limits_{1}^{u}\ln(t) \,\mathrm dt \right]\frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \implies\ln(u)\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}

Untuk \dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}-nya, kita buat notasi nya jadi \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx} [u]dan mengembalikanudenganx^2 dan kita bisa menyelesaikannya, seperti berikut.

\begin{aligned} &=\ln(x^2) \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}[x^2] \\ &=\ln(x^2)(2x) \\ &=2x\ln(x^2)\end{aligned}

Untuk 2x\ln(x^2), kita bisa sederhanakan dengan menerapkan sifat logaritma alami, \ln(a^c)=c\ln(a)denganc=2. Maka, 2x\ln(x^2)=(2x)(2)\ln(x)=4x\ln(x).

Sehingga, dapat disimpulkan bahwa, \displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[ \displaystyle\int\limits^{x^2}_1 {\ln(t)} \, \mathrm dt \right] = 4x\ln(x).

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh arthurkangdani dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 10 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>