Soal a

Ingkaran dari pernyataan “Jika hari ini hujan, maka Alfa tidak datang ke kampus.” adalah:
“Hari ini tidak hujan, dan Alfa tidak datang ke kampus.“

Soal b

Ingkaran dari pernyataan ”2 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 adalah bilangan ganjil.“ adalah:

• Dalam bentuk disjungsi:
  ”2 bukan bilangan prima dan 2 adalah bilangan ganjil, atau 2 adalah bilangan prima dan 2 bukan bilangan ganjil.“
• Dalam bentuk bi-implikasi (pilih salah satu):
  ”2 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 bukan bilangan ganjil.“, atau
  ”2 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 2 adalah bilangan ganjil.“

Soal c

Ingkaran dari pernyataan ”Setiap bilangan real adalah rasional atau irasional.“ adalah:

• ”Ada bilangan real yang bukan rasional dan (juga) bukan irasional.“, atau
• ”Terdapat bilangan real yang bukan rasional dan (juga) bukan irasional.“, atau
• ”Beberapa bilangan real bukan rasional dan (juga) bukan irasional.“

Soal d

Ingkaran dari pernyataan ”Beberapa fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-x.“ adalah:

• ”Semua fungsi kuadrat memotong sumbu-x.“, atau
• ”Setiap fungsi kuadrat memotong sumbu-x.“

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Logika Matematika

Soal a

Diberikan pernyataan:
“Jika hari ini hujan, maka Alfa tidak datang ke kampus.”

Pernyataan tersebut adalah pernyataan implikasi, yang dapat dinyatakan dengan p ⇒ q. Ingkaran/negasinya adalah:
~(p ⇒ q)
... hukum implikasi
≡ ~(p ∨ ~q)
... teorema DeMorgan
≡ ~p ∧ q

Jadi, ingkaran dari p ⇒ q adalah ~p ∧ q.

Dari pernyataan di atas, dapat kita ambil:

• p: Hari ini hujan.
• q: Alfa tidak datang ke kampus.

Maka, ~p ∧ q: Hari ini tidak hujan, dan Alfa tidak datang ke kampus.

∴ Dengan demikian, ingkaran dari pernyataan di atas adalah:
“Hari ini tidak hujan, dan Alfa tidak datang ke kampus.“

Soal b

Diberikan pernyataan:
”2 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 adalah bilangan ganjil.“

Pernyataan tersebut adalah pernyataan bi-implikasi, yaitu implikasi dua arah.

Cara 1

Negasi atau ingkarannya dapat ditelusuri sebagai berikut.
~(p ⇔ q)
... hukum bi-implikasi
≡ ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
... teorema DeMorgan
≡ ~(p ⇒ q) ∨ ~(q ⇒ p)
... dari soal a di atas
≡ (~p ∧ q) ∨ (~q ∧ p)

Jadi, ingkaran dari p ⇔ q adalah (~p ∧ q) ∨ (~q ∧ p), atau secara komutatif dapat dinyatakan juga dengan (~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q).

Dari pernyataan di atas, dapat kita ambil:

• p: 2 adalah bilangan prima.
• q: 2 adalah bilangan ganjil.

∴ Maka, ingkaran dari pernyataan yang diberikan adalah (~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q), yaitu:
”2 bukan bilangan prima dan 2 adalah bilangan ganjil, atau 2 adalah bilangan prima dan 2 bukan bilangan ganjil.“

Cara 2

Pernyataan biimplikasi p ⇔ q bernilai benar jika dan hanya jika p dan q bernilai sama, yaitu sama-sama benar atau sama-sama salah. Ingkarannya adalah ketika p ⇔ q bernilai salah, yaitu jika p berbeda nilai kebenarannya dengan q.

Oleh karena itu, ingkaran dari p ⇔ q dapat juga dinyatakan dengan p ⇔ ~q, atau ~p ⇔ q.

• p ⇔ ~q : ”2 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 bukan bilangan ganjil.“
• ~p ⇔ q : ”2 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 2 adalah bilangan ganjil.“

Soal c

Diberikan pernyataan:
”Setiap bilangan real adalah rasional atau irasional.“

Pernyataan tersebut adalah pernyataan berkuantor universial (karena ada kata ”setiap“) yang dapat dinyatakan dengan notasi ∀x, p(x), dengan

• x = bilangan real, dan
• p(x) = x rasional atau irasional.

Ingkarannya adalah:
~(∀x, p(x) ≡ ~∀x, ~p(x) ≡ ∃x, ~p(x)

Sedangkan p(x) adalah pernyataan disjungsi, yang dapat dinyatakan oleh a ∨ b. Ingkarannya adalah:
~p(x) ≡ ~(a ∨ b) ≡ ~a ∧ ~b

Jadi, ~p(x): ”x bukan rasional dan x bukan irasional“.

Untuk ingkaran pernyataan yang diberikan, kita ambil bentuk kuantor eksistensial ∃x, ~p(x) saja.

Ingkaran dari pernyataan tersebut adalah:

• ”Ada bilangan real yang bukan rasional dan (juga) bukan irasional.“, atau
• ”Terdapat bilangan real yang bukan rasional dan (juga) bukan irasional.“, atau
• ”Beberapa bilangan real bukan rasional dan (juga) bukan irasional.“

Soal d

Diberikan pernyataan:
”Beberapa fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-x.“

Pernyataan tersebut adalah pernyataan berkuantor eksistensial (karena ada kata ”beberapa“) yang dapat dinyatakan dengan notasi ∃x, p(x), dengan

• x = fungsi kuadrat, dan
• p(x) = fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-x.

Ingkarannya adalah:
~(∃x, p(x)) ≡ ~∃x, ~p(x) ≡ ∀x, ~p(x)

Maka, ingkaran dari pernyataan tersebut adalah:

• ”Semua fungsi kuadrat memotong sumbu-x.“, atau
• ”Setiap fungsi kuadrat memotong sumbu-x.“