1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan turunan fungsi dari [tex]\displaystyle y=\frac{\tan x}{1-\cot x}+\frac{\cot x}{1-\tan x}[/tex] dan nyatakan

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan turunan fungsi dari\displaystyle y=\frac{\tan x}{1-\cot x}+\frac{\cot x}{1-\tan x}
dan nyatakan hasilnya dalam bentuk paling sederhana.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Turunan fungsi dari

\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}y&=\frac{\tan x}{1-\cot x}+\frac{\cot x}{1-\tan x}\\\end{aligned}

dalam bentuk yang paling sederhana adalah

\boxed{\:y'=\sec^2x-\csc^2x\:}

atau

\boxed{\:y'=-4\cot(2x)\csc(2x)\:}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Sederhanakan dulu, baru turunkan.

\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}y&=\frac{\tan x}{1-\cot x}+\frac{\cot x}{1-\tan x}\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{\tan x}{\ 1-\frac{\cos x}{\sin x}\ }+\frac{\cot x}{\ 1-\frac{\sin x}{\cos x}\ }\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{\tan x}{\ \frac{\sin x-\cos x}{\sin x}\ }+\frac{\cot x}{\ \frac{\cos x-\sin x}{\cos x}\ }\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{\sin x\tan x-\cos x\cot x}{\sin x-\cos x}\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{\frac{\sin^2x}{\cos x}-\frac{\cos^2x}{\sin x}}{\sin x-\cos x}\end{aligned}
\begin{aligned}y\vphantom{\bigg|}&=\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot\frac{\sin^3x-\cos^3x}{\sin x-\cos x}\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot\left(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x\right)\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot\left(1+\sin x\cos x\right)\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{1}{\sin x\cos x}+1\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{2}{2\sin x\cos x}+1\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{2}{\sin2x}+1\\y\vphantom{\Big|}&=2\csc2x+1\end{aligned}

Turunannya:

\begin{aligned}y'&=\frac{d}{dx}(2\csc(2x)+1)\\&=\frac{d}{dx}(2\csc(2x))+\frac{d}{dx}(1)\\&=2\cdot\frac{d}{dx}(\csc(2x))\\&=2\left(-\cot(2x)\right)\cdot\csc(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x)\\&=-2\cot(2x)\csc(2x)\cdot2\\y'&=\boxed{\:-4\cot(2x)\csc(2x)\:}\\&=(-4)\frac{\cos(2x)}{\sin^2(2x)}\\&=(-4)\frac{\cos^2x-\sin^2x}{4\sin^2 x\cos^2 x}\\&=(-1)\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2 x\cos^2 x}\\&=(-1)\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{\cos^2x}\right)\\y'&=\boxed{\:\sec^2x-\csc^2x\:}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 07 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>