1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Panjang sisi persegi adalah 1 cm, sebuah lingkaran menyinggung sisi-sisi

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Panjang sisi persegi adalah 1 cm, sebuah lingkaran menyinggung sisi-sisi persegi, dan dua buah setengah lingkaran yang diameternya adalah sisi persegi tersebut. Luas daerah berwarna biru adalah ...A. \frac{4\sqrt{3}-3\pi}{12}

B. \frac{3\pi-4\sqrt{3}}{12}

C. \frac{3\pi+4\sqrt{3}}{12}

D. \frac{4\pi-3\sqrt{3}}{12}

E. \frac{4\pi+3\sqrt{3}}{12}
Panjang sisi persegi adalah 1 cm, sebuah lingkaran menyinggung sisi-sisi persegi, dan dua buah setengah lingkaran yang diameternya adalah sisi persegi tersebut. Luas daerah berwarna biru adalah ...A. [tex]\frac{4\sqrt{3}-3\pi}{12}[/tex]B. [tex]\frac{3\pi-4\sqrt{3}}{12}[/tex]C. [tex]\frac{3\pi+4\sqrt{3}}{12}[/tex]D. [tex]\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{12}[/tex]E. [tex]\frac{4\pi+3\sqrt{3}}{12}[/tex]

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luas daerah berwarna biru adalah:
\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\vphantom{\bigg|}\,\bf\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{12}\ \ \rm cm^2\,}\end{aligned}$}
 

Pembahasan

Pertama-tama, kita bagi daerah berwarna biru menjadi 2 bangun menyerupai bentuk daun, dan kedua bangun ini saling kongruen. Karena jari-jari lingkaran dalam persegi sama dengan jari-jari setiap bangun setengah lingkaran yang garis diameternya berhimpit dengan sisi persegi, maka satu bagian daerah yang berwarna biru terbentuk dari 2 tembereng yang saling kongruen, sehingga total ada 4 tembereng yang saling kongruen.

Agar lebih jelas, silahkan perhatikan gambar lampiran.

ΔJOH kongruen dengan ΔJOG, dan kedua segitiga ini merupakan segitiga sama sisi, dengan panjang sisi sama dengan ½ × panjang sisi persegi.

Oleh karena itu, besar ∠HJG = 2 × besar sudut dalam (sudut interior) segitiga sama sisi.

Jadi, besar ∠HJG = 120°, yang berarti bahwa setiap tembereng merupakan tembereng lingkaran yang sama dengan, besar sudut pusat 120°.

Dengan panjang sisi persegi = s, yang berarti panjang jari-jari lingkaran: r = ½s, luas daerah berwarna biru dinyatakan oleh:

\begin{aligned}L&=4\times L_{\sf tembereng}\\&=4\times\left(L_{\sf juring}-L_{\triangle}\right)\\&=4\times\left(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\pi r^2-\frac{1}{2}r^2\sin120^{\circ}\right)\\&=4\times\left(\frac{\pi}{3}\left(\frac{s}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\left(\frac{s}{2}\right)^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=4\times\left(\frac{\pi s^2}{12}-\frac{s^2\sqrt{3}}{16}\right)\\&=\frac{4\pi s^2}{12}-\frac{4s^2\sqrt{3}}{16}\\&=\frac{4\pi s^2}{12}-\frac{3s^2\sqrt{3}}{12}\end{aligned}
\begin{aligned}L&=\frac{s^2\left(4\pi-3\sqrt{3}\right)}{12}\end{aligned}

Substitusi s = 1 cm, maka luas daerah berwarna biru adalah:

\large\text{$\begin{aligned}L&=\bf\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{12}\ \ \rm cm^2\end{aligned}$}
\blacksquare

Luas daerah berwarna biru adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\vphantom{\bigg|}\,\bf\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{12}\ \ \rm cm^2\,}\end{aligned}$}[/tex] PembahasanPertama-tama, kita bagi daerah berwarna biru menjadi 2 bangun menyerupai bentuk daun, dan kedua bangun ini saling kongruen. Karena jari-jari lingkaran dalam persegi sama dengan jari-jari setiap bangun setengah lingkaran yang garis diameternya berhimpit dengan sisi persegi, maka satu bagian daerah yang berwarna biru terbentuk dari 2 tembereng yang saling kongruen, sehingga total ada 4 tembereng yang saling kongruen.Agar lebih jelas, silahkan perhatikan gambar lampiran.ΔJOH kongruen dengan ΔJOG, dan kedua segitiga ini merupakan segitiga sama sisi, dengan panjang sisi sama dengan ½ × panjang sisi persegi.Oleh karena itu, besar ∠HJG = 2 × besar sudut dalam (sudut interior) segitiga sama sisi. Jadi, besar ∠HJG = 120°, yang berarti bahwa setiap tembereng merupakan tembereng lingkaran yang sama dengan, besar sudut pusat 120°.Dengan panjang sisi persegi = [tex]s[/tex], yang berarti panjang jari-jari lingkaran: [tex]r[/tex] = ½[tex]s[/tex], luas daerah berwarna biru dinyatakan oleh:[tex]\begin{aligned}L&=4\times L_{\sf tembereng}\\&=4\times\left(L_{\sf juring}-L_{\triangle}\right)\\&=4\times\left(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\pi r^2-\frac{1}{2}r^2\sin120^{\circ}\right)\\&=4\times\left(\frac{\pi}{3}\left(\frac{s}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\left(\frac{s}{2}\right)^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=4\times\left(\frac{\pi s^2}{12}-\frac{s^2\sqrt{3}}{16}\right)\\&=\frac{4\pi s^2}{12}-\frac{4s^2\sqrt{3}}{16}\\&=\frac{4\pi s^2}{12}-\frac{3s^2\sqrt{3}}{12}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L&=\frac{s^2\left(4\pi-3\sqrt{3}\right)}{12}\end{aligned}[/tex]Substitusi [tex]s[/tex] = 1 cm, maka luas daerah berwarna biru adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}L&=\bf\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{12}\ \ \rm cm^2\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 27 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>