Jawab:

a) Titik maksimum nya (¼ π, 2), (11π/12, 2) dan (19π/12)

Titik minimum nya (7π/12, -2), (5π/4, -2) dan (23π/12, -2)

b) Naik pada 0 < x < ¼ π, 7π/12 < x < 11π/12, 5π/4 < x < 19π/12 dan 23π/12 < x < 2π

Turun pada ¼ π < x < 7π/12, 11π/12 < x < 5π/4 dan 19π/12 < x < 23π/12

c) Nilai maksimum nya 2 dan minimum nya -2

d) Titik- titik belok nya (0, π/12), (0, 5π/12), (0, 3π/4), (0, 13π/12), (0, 17π/12) dan (0, 7π/4)

e)Cekung ke atas pada 0 < x < π/12, 5π/12 < x < 3π/4, 13π/12 < x < 17π/12 dan 7π/4 < x < 2π

Cekung ke bawah pada π/12 < x < 5π/12, 3π/4 < x < 13π/12, 17π/12 < x < 7π/4

Penjelasan dengan langkah-langkah:

y = 2 sin (3x - ¼ π), 0 ≤ x ≤ 2π

Saat di titik stasioner, y' = 0

6 cos (3x - ¼ π) = 0

cos (3x - ¼ π) = cos ½ π

3x - ¼ π = ± ½ π + k · 2π, k ∈ Z

3x - ¼ π = ½ π + k · 2π

3x = ¾ π + k · 2π

x = ¼ π + k · ⅔ π

k = 0 → x = ¼ π + 0 · ⅔ π = ¼ π

k = 1 → x = ¼ π + 1 · ⅔ π = 11/12 π

k = 2 → x = ¼ π + 2 · ⅔ π = 19/12 π

dan

3x - ¼ π = -½ π + k · 2π

3x = -¼ π + k · 2π

x = -1/12 π + k · ⅔ π

k = 1 → x = -1/12 π + 1 · ⅔ π = 7/12 π

k = 2 → x = -1/12 π + 2 · ⅔ π = 5/4 π

k = 3 → x = -1/12 π + 3 · ⅔ π = 23/12 π

Nilai maksimum dan minimum nya terlihat dari amplitudo A = 2 sehingga y maks = 2 dan y min = -2

Tentukan interval naik dan turun

Naik saat y' > 0

6 cos (3x - ¼ π) > 0

dan

Turun saat y' < 0

6 cos (3x - ¼ π) < 0

Buat garis bilangan

  +        -        +       -       +       -        +

o___o___o___o___o___o___o___o

0  ¼ π 7π/12 11π/12 5π/4 19π/12 23π/12 2π

Naik pada 0 < x < ¼ π, 7π/12 < x < 11π/12, 5π/4 < x < 19π/12 dan 23π/12 < x < 2π

Turun pada ¼ π < x < 7π/12, 11π/12 < x < 5π/4 dan 19π/12 < x < 23π/12

Berdasarkan sifat sinusoidal dari penyelesaian di atas sudah dapat di sketsa grafik nya sehingga

Titik maksimum nya (¼ π, 2), (11π/12, 2) dan (19π/12)

Titik minimum nya (7π/12, -2), (5π/4, -2) dan (23π/12, -2)

Belok saat y'' = 0

-18 sin (3x - ¼ π) = 0

sin (3x - ¼ π) = 0

3x - ¼ π = sin 0

3x - ¼ π = 0 + k · 2π dan 3x - ¼ π = (π - 0) + k · 2π, k ∈ Z

3x - ¼ π = 0 + k · 2π

x = 1/12 π + k · ⅔ π

k = 0 → x = 1/12 π + 0 · ⅔ π = 1/12 π

k = 1 → x = 1/12 π + 1 · ⅔ π = 3/4 π

k = 2 → x = 1/12 π + 2 · ⅔ π = 17/12 π

dan

3x - ¼ π = π + k · 2π

x = 5/12 π + k · ⅔ π

k = 0 → x = 5/12 π + 0 · ⅔ π = 5/12 π

k = 1 → x = 5/12 π + 1 · ⅔ π = 13/12 π

k = 2 → x = 5/12 π + 2 · ⅔ π = 7/4 π

Substitusi semua x ke y

x = π/12 → y = 2 sin (3 · π/12 - ¼ π) = 0

x = 5π/12 → y = 2 sin (3 · 5π/12 - ¼ π) = 0

x = 3π/4 → y = 2 sin (3 · 3π/4 - ¼ π) = 0

x = 13π/12 → y = 2 sin (3 · 13π/12 - ¼ π) = 0

x = 17π/12 → y = 2 sin (3 · 17π/12 - ¼ π) = 0

x = 7π/4 → y = 2 sin (3 · 7π/4 - ¼ π) = 0

Titik- titik belok nya (0, π/12), (0, 5π/12), (0, 3π/4), (0, 13π/12), (0, 17π/12) dan (0, 7π/4)

Cekung ke atas y'' > 0

-18 sin (3x - ¼ π) > 0

dan

Cekung ke bawah y'' < 0

-18 sin (3x - ¼ π) < 0

Buat garis bilangan

   +        -       +       -        +       -       +

o___o___o___o___o___o___o___o

0   π/12   5π/12   3π/4   13π/12   17π/12   7π/4   2π

Cekung ke atas pada 0 < x < π/12, 5π/12 < x < 3π/4, 13π/12 < x < 17π/12 dan 7π/4 < x < 2π

Cekung ke bawah pada π/12 < x < 5π/12, 3π/4 < x < 13π/12, 17π/12 < x < 7π/4

Cek letak interval titik maksimum dan titik minimum untuk menyelidiki kebenaran sketsa

Titik maksimum y'' < 0

Titik minimum y'' > 0

Berdasarkan garis bilangan

Titik maksimum pada π/12 < x < 5π/12, 3π/4 < x < 13π/12, 17π/12 < x < 7π/4

Titik minimum pada 0 < x < π/12, 5π/12 < x < 3π/4, 13π/12 < x < 17π/12 dan 7π/4 < x < 2π