1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Buktikan dengan induksi matematika 2^ 0 +2^ 1 +2^ 2

Berikut ini adalah pertanyaan dari riskyprasetio46 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Buktikan dengan induksi matematika 2^ 0 +2^ 1 +2^ 2 +...+2^ n =2^ n+1 -1​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Catatan:

Karena nilai n pertama adalah 0, maka pembuktian ini akan dilakukan untuk n ∈ bilangan cacah.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa  \large\text{$\begin{aligned}&2^0+2^1+2^2+\dots+2^n=2^{n+1}-1\end{aligned}$}  untuk n ∈ bilangan cacah (n ≥ 0).

Langkah Pertama

Pembuktian untuk nilai n pertama pada himpunan nilai n

Untuk n = 0, benar bahwa  \large\text{$\begin{aligned}&2^{0+1}-1=2^1-1=1\end{aligned}$}.

Langkah Kedua

Asumsi

Andaikan benar untuk n = k, yaitu  \large\text{$\begin{aligned}&2^0+2^1+2^2+\dots+2^k=2^{k+1}-1\end{aligned}$}, maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k + 1, yaitu  \large\text{$\begin{aligned}&2^0+2^1+2^2+\dots+2^k+2^{k+1}=2^{k+2}-1\end{aligned}$}.

Langkah Ketiga

Pembuktian Asumsi

(Ruas persamaan dibalik agar lebih rapi saja.)

\large\text{$\begin{aligned}2^{k+2}-1&=\underbrace{2^0+2^1+2^2+\dots+2^k}_{\begin{array}{c}2^{k+1}-1\end{array}}+2^{k+1}\\2^{k+2}-1&=2^{k+1}-1+2^{k+1}\\2^{k+2}-1&=2\cdot2^{k+1}-1\\2^{k+2}-1&=2^{k+1+1}-1\\2^{k+2}-1&=2^{k+2}-1\\\textsf{Ruas kiri}&=\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}$}

(terbukti benar)

∴  Kesimpulan:

Telah ditunjukkan bahwa persamaan di atas terbukti benar untuk n = 0. Telah ditunjukkan pula bahwa dengan asumsi benar untuk n = k, persamaan di atas terbukti benar untuk n = k + 1.

Oleh karena itu,  \large\text{$\begin{aligned}&2^0+2^1+2^2+\dots+2^n=2^{n+1}-1\end{aligned}$}  BENAR untuk n ∈ bilangan cacah (n ≥ 0).

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 25 May 22
<< Previous Post
Next Post >>