1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Hitung integral garis dari:​

Berikut ini adalah pertanyaan dari cloudmp3 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hitung integral garis dari:​
Hitung integral garis dari:​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

  1. Hasil dari \displaystyle{\int\limits_C {(x^3+y)} \, dS,~x=3t,~y=t^3,~0\leq t\leq 1 }adalah14(2√2 - 1).
  2. Hasil dari \displaystyle{\int\limits_C {(2x+9z)} \, dS,~x=t,~y=t^2,~z=t^3~0\leq t\leq 1 }adalah\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{6}\left ( 14\sqrt{14}-1 \right )} }.

PEMBAHASAN

Untuk menghitung suatu integral garis pada suatu persamaan parameter kurva mulus C dengan batas a ≤ t ≤ b adalah :

  1. Pada bidang xy, dimana x = x(t) dan y = y(t) :\displaystyle{\int\limits_C {f(x,y)} \, dS=\int\limits^b_a {f[x(t),y(t)]\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} } \, dt }
  2. Pada ruang xyz, dimana x = x(t), y = y(t), dan z = z(t) : \displaystyle{\int\limits_C {f(x,y,z)} \, dS=\int\limits^b_a {f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2} } \, dt }

.

DIKETAHUI

\displaystyle{1.~\int\limits_C {(x^3+y)} \, dS,~x=3t,~y=t^3,~0\leq t\leq 1 }

\displaystyle{2.~\int\limits_C {(2x+9z)} \, dS,~x=t,~y=t^2,~z=t^3~0\leq t\leq 1 }

.

DITANYA

Tentukan hasil integral garisnya.

.

PENYELESAIAN

> Soal 1.

x(t)=3t~\to~x'(t)=3

y(t)=t^3~\to~y'(t)=3t^2

a = 0

b = 1

.

Maka :

\displaystyle{\int\limits_C {(x^3+y)} \, dS}

\displaystyle{=\int\limits^b_a {f[x(t),y(t)]\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} } \, dt }

\displaystyle{=\int\limits^1_0 {[(3t)^3+t^3]\sqrt{(3)^2+(3t^2)^2} } \, dt}

\displaystyle{=\int\limits^1_0 {(27t^3+t^3)\sqrt{9+9t^4} } \, dt}

\displaystyle{=\int\limits^1_0 {28t^3\sqrt{9(1+t^4)} } \, dt}

-----------

Misal :

u=1+t^4~\to~du=4t^3dt

untuk~t=0~\to~u=1+0^3=1

untuk~t=1~\to~u=1+1^3=2

-----------

\displaystyle{=\int\limits^2_1 {28t^3\sqrt{9u} } \, \left ( \frac{du}{4t^3} \right )}

\displaystyle{=\int\limits^2_1 {7\sqrt{9u} } \, du}

\displaystyle{=\int\limits^2_1 {21u^{\frac{1}{2}} } \, du}

\displaystyle{=\frac{21}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1}\Bigr|^2_1 }

\displaystyle{=\frac{21}{\frac{3}{2}}u^{\frac{3}{2}}\Bigr|^2_1 }

\displaystyle{=14u\sqrt{u}\Bigr|^2_1 }

\displaystyle{=14\left ( 2\sqrt{2}-1\sqrt{1} \right ) }

\displaystyle{=14\left ( 2\sqrt{2}-1 \right ) }

.

.

> Soal 2.

x(t)=t~\to~x'(t)=1

y(t)=t^2~\to~y'(t)=2t

z(t)=t^3~\to~z'(t)=3t^2

a = 0

b = 1

.

Maka :

\displaystyle{\int\limits_C {(2x+9z)} \, dS }

\displaystyle{=\int\limits^b_a {f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2} } \, dt }

\displaystyle{=\int\limits^1_0 {[2(t)+9(t^3)]\sqrt{(1)^2+(2t)^2+(3t^2)^2} } \, dt }

\displaystyle{=\int\limits^1_0 {(2t+9t^3)\sqrt{1+4t^2+9t^4} } \, dt }

-----------

Misal :

u=1+4t^2+9t^4~\to~du=(8t+36t^3)dt

untuk~t=0~\to~u=1+4(0)^2+9(0)^4=1

untuk~t=1~\to~u=1+4(1)^2+9(1)^4=14

-----------

\displaystyle{=\int\limits^{14}_1 {(2t+9t^3)\sqrt{u} } \, \left ( \frac{du}{8t+36t^3} \right ) }

\displaystyle{=\int\limits^{14}_1 {(2t+9t^3)\sqrt{u} } \, \left ( \frac{du}{4(2t+9t^3)} \right ) }

\displaystyle{=\frac{1}{4}\int\limits^{14}_1 {u^{\frac{1}{2}} } \, du }

\displaystyle{=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1} \right )\Bigr|^{14}_1 }

\displaystyle{=\frac{1}{4}\left ( \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right )\Bigr|^{14}_1 }

\displaystyle{=\frac{1}{6}u\sqrt{u}\Bigr|^{14}_1 }

\displaystyle{=\frac{1}{6}\left ( 14\sqrt{14}-1\sqrt{1} \right ) }

\displaystyle{=\frac{1}{6}\left ( 14\sqrt{14}-1 \right ) }

.

KESIMPULAN

  1. Hasil dari \displaystyle{\int\limits_C {(x^3+y)} \, dS,~x=3t,~y=t^3,~0\leq t\leq 1 }adalah14(2√2 - 1).
  2. Hasil dari \displaystyle{\int\limits_C {(2x+9z)} \, dS,~x=t,~y=t^2,~z=t^3~0\leq t\leq 1 }adalah\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{6}\left ( 14\sqrt{14}-1 \right )} }.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Fungsi gamma : yomemimo.com/tugas/29427903
  2. Uji integral : yomemimo.com/tugas/29744420
  3. Transformasi laplace : yomemimo.com/tugas/53560712

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : -

Mapel: Matematika

Bab : Integral garis

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 01 Sep 23
<< Previous Post
Next Post >>