Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menyelesaikan persamaan homogen 2v + x(-v + 2)dv/dx = 0, kita dapat menggunakan metode substitusi baru u = v/x. Dalam hal ini, kita perlu mengganti v dengan ux dan dv/dx dengan u + xdu/dx.

Maka, persamaan homogen dapat dituliskan ulang menjadi:

2ux + x(-ux/x + 2) (u + xdu/dx) = 0

Dengan melakukan manipulasi aljabar yang tepat, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi:

xdu/dx = -3u/2

Kemudian, kita dapat memisahkan variabel dan mengintegrasikan kedua sisi persamaan untuk menyelesaikan persamaan ini. Dalam hal ini, kita dapat membagi kedua sisi dengan u dan mengalikan dengan dx sehingga persamaan menjadi:

(1/u) du = -3/2 dx

Setelah melakukan integrasi kedua sisi persamaan, kita dapat menemukan solusi umum dari persamaan homogen 2v + x(-v + 2)dv/dx = 0:

ln|u| = -3/2 x + C

Substitusi kembali u = v/x dan menyederhanakan, maka solusi umum dari persamaan diferensial asli adalah:

ln|y/x| = -3/2 x + C

Dengan mengekspresikan solusi umum ini dalam bentuk eksponensial, kita dapat menuliskan solusi umum persamaan diferensial awal sebagai:

y/x = e^(-3/2x + C)

Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial (2-x)dy/dx = 2x + y adalah y = xe^(-3/2x+C) di mana C adalah konstanta integral.