Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu, kita perlu menggunakan dua fakta penting:

1. Gradien garis singgung pada titik tertentu pada lingkaran sama dengan kebalikan dari gradien jari-jari ke titik tersebut.

2. Jika titik (x1, y1) adalah titik di lingkaran, maka persamaan garis singgung pada titik tersebut adalah y - y1 = m(x - x1), di mana m adalah gradien garis singgung.

Dalam kasus ini, lingkaran memiliki persamaan x² + y² = 10, sehingga kita dapat mengidentifikasi jari-jari lingkaran sebagai r = √10. Selanjutnya, kita harus mencari titik-titik di lingkaran yang memiliki gradien -3.

Kita mulai dengan mencari turunan implisit dari persamaan lingkaran:

d/dx (x² + y²) = d/dx (10)

2x + 2y dy/dx = 0

dy/dx = -x/y

Kita ingin mencari titik-titik di lingkaran di mana gradien -x/y adalah -3. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan persamaan berikut:

-x/y = -3

x/y = 3

x = 3y

Kita dapat memasukkan persamaan ini ke dalam persamaan lingkaran awal dan menyelesaikannya untuk y:

x² + y² = 10

(3y)² + y² = 10

10y² = 10

y² = 1

y = ±1

Kita mendapatkan dua titik pada lingkaran yang memiliki gradien -3, yaitu (3, 1) dan (-3, -1). Selanjutnya, kita dapat menggunakan persamaan garis singgung yang diberikan di atas untuk menemukan persamaan garis singgung pada masing-masing titik:

Pada titik (3, 1):

dy/dx = -x/y = -3

y - 1 = -3(x - 3)

y - 1 = -3x + 9

y = -3x + 10

Pada titik (-3, -1):

dy/dx = -x/y = -3

y + 1 = -3(x + 3)

y + 1 = -3x - 9

y = -3x - 10

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 10 dengan gradien -3 adalah y = -3x + 10 dan y = -3x - 10.