tolong ya kak!!!!!!!!!!

Berikut ini adalah pertanyaan dari devanya6 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong ya kak!!!!!!!!!!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Menggunakan induksi matematika, terbukti bahwa:

2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2n)² = ⅔ n(n + 1)(2n + 1) untuk setiap n bilangan asli.
1/(1 × 3) + 1/(3 × 5) + 1/(5 × 7) + …. + 1/(2n – 1)(2n + 1) = n/(2n + 1) untuk setiap n bilangan asli.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Ada dua langkah dalam induksi matematika yaitu:

Buktikan bahwa untuk n = 1 benar
Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar

Diketahui

3) 2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2n)² = $\frac{2}{3}$ n(n + 1)(2n + 1)

$4) \: \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n}{2n + 1}$

Untuk setiap n bilangan asli

Ditanyakan

Buktikan rumus tersebut menggunakan induksi matematika!

Jawab

Nomor 3

2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2n)² = $\frac{2}{3}$ n(n + 1)(2n + 1)

Akan dibuktikan untuk n = 1 benar.

(2n)² = $\frac{2}{3}$ n(n + 1)(2n + 1)

(2 . 1)² = $\frac{2}{3}$ 1(1 + 1)(2 . 1 + 1)

(2)² = $\frac{2}{3}$ 1(2)(3)

4 = 4

Terbukti

Misal kita asumsikan untuk n = k benar.

2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² = $\frac{2}{3}$ k(k + 1)(2k + 1)

Akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar.

2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² + (2(k + 1))² = $\frac{2}{3}$ (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)

2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² + 2² (k + 1)² = $\frac{2}{3}$ (k + 1)(k + 2)(2k + 2 + 1)

2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² + 4(k + 1)² = $\frac{2}{3}$ (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

Pembuktian

2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² + 4(k + 1)²

= [2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)²] + 4(k + 1)²

= $\frac{2}{3}$ k(k + 1)(2k + 1) + 4(k + 1)²

= $\frac{2}{3}$ k(k + 1)(2k + 1) + $\frac{12}{3}$ (k + 1)(k + 1)

= $\frac{2}{3}$ (k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1))

= $\frac{2}{3}$ (k + 1) [2k² + k + 6k + 6)

= $\frac{2}{3}$ (k + 1) [2k² + 7k + 6)

= $\frac{2}{3}$ (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

Terbukti

Nomor 4

$\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n}{2n + 1}$

Akan dibuktikan untuk n = 1 benar.

$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n}{2n + 1}$

$\frac{1}{(2.1 - 1)(2.1 + 1)} = \frac{1}{2.1 + 1}$

$\frac{1}{(2 - 1)(2 + 1)} = \frac{1}{2 + 1}$

$\frac{1}{(1)(3)} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Terbukti

Misal kita asumsikan untuk n = k benar.

$\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} = \frac{k}{2k \:+\: 1}$

Akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar.

$\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} + \frac{1}{(2(k \:+\: 1) \:-\: 1)(2(k \:+\: 1) \:+\: 1)}= \frac{k \:+\: 1}{2(k \:+\: 1) \:+\: 1}$

$\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} + \frac{1}{(2k \:+\: 2 \:-\: 1)(2k \:+\: 2 \:+\: 1)}= \frac{k \:+\: 1}{2k \:+\: 2 \:+\: 1}$

$\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}= \frac{k \:+\: 1}{2k \:+\: 3}$

Pembuktian

$\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}$

$= \left(\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)}\right) + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}$