VOLUME BENDA PUTAR Daerah yang dibatasi oleh Lingkaran dan kurva

Berikut ini adalah pertanyaan dari BUD14Z pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

VOLUME BENDA PUTARDaerah yang dibatasi oleh Lingkaran dan kurva f(y) . (Lihat gambar).
Tentukan volume (area diarsir) jika berputar pada sumbu y 360°.
dalam satuan πL.

Terimakasih .
VOLUME BENDA PUTAR
Daerah yang dibatasi oleh Lingkaran dan kurva f(y) . (Lihat gambar).
Tentukan volume (area diarsir) jika berputar pada sumbu y 360°.
dalam satuan πL.
Terimakasih .

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

GEOMETRI METODE INTEGRAL

Diketahui :

P.Lingkaran = x²+y² = 289
Tipot Kurva = $\left(\frac{11}{5},0\right)$
A-C = 16 cm

Ditanya :

Volume benda putar mengelilingi y

Jawab :

$\because$ Karena yang ditanyakan volume benda mengelilingi sumbu y , maka bentuk integralnya

$\boxed{\displaystyle\int\limits_a^b\:f(y)\:dy} \:$

a = batas bawah
b = batas atas
f(y) = fungsi

Tipot P.Lingkaran di sumbu y = ±17

Cari tipot kurva A atau C

$\because$ AC = 16 cm sehingga sumbu simetri x membagi 16 cm menjadi 2

untuk sumbu ±y

= ½16

= 8

$\therefore$ Maka diperoleh Tipot A ( x , 8 ) , C ( x , -8 )

xA = xC

Subtitusi nilai y ke dalam persamaan lingkaran untuk mencari nilai xA maupun xC

$\begin{aligned}x^2+y^2&=289\\x^2+(8)^2&=289\\x^2&=289-64\\x&=\sqrt{225}\\x&=15\end{aligned}$

Dengan demikian tipot A ( 15 , 8 ) , dan C ( 15 , -8 )

• Mencari persamaan kurva

$\because$ Tipot & Tipun sudah diketahui , sehingga mencari persamaan kurvanya

$\boxed{x=a(y-y_p {)}^{2} +x_p}$

x = 15
y = 8 atau -8
$x_p=\frac{11}{5}$
$y_p$ = 0

• Menentukan nilai a

$\begin{aligned}15&=a(8-0)^2+\frac{11}{5}\\15&=a64+\frac{11}{5}\\a64&=15-\frac{11}{5}\\a64&=\frac{75-5}{5}\\a64&=\frac{64}{5}\\a&=\frac{64}{5}\times\frac{1}{64}\\a&=\frac{1}{5}\end{aligned}$

Maka bentuk persamaan kurva-nya

$x = \frac{1}{5} (y - y_{p} {)}^{2} + \frac{11}{5} \\\\ x = \frac{1}{5} {y}^{2} + \frac{11}{5}$

Maka Batas integral lingkaran terpotong Kurva ialah

( 0 , 8 )

Dan batas integral lingkaran

( 8 , 17 )

Ubah semua bentuk persamaan kedalam bentuk x²

P.Lingkaran

x² + y² = 289

x² = 289 - y²

P.Kurva

$x^{2} = ( \frac{1}{5} {y}^{2} + \frac{11}{5} {)}^{2} \\ \\ x^{2} = ( \frac{1}{5} {y}^{2} + \frac{11}{5} )( \frac{1}{5} {y}^{2} + \frac{11}{5} ) \\ \\ x {}^{2} = \frac{1}{25} {y}^{4} + \frac{22}{25} {y}^{2} + \frac{121}{25}$

$\therefore$ Maka Volume benda

$=2\left( \pi\displaystyle\int\limits_0^8 \frac{1}{25}y^4+\frac{22}{25}y^2+\frac{121}{25}\:dy+\pi\int\limits_8^{17}\:289-y^2\:dy \right)\\ \\$

$\begin{aligned} & = 2\left(\pi( \frac{1}{125} {y}^{5} +\frac{22}{75}y^3+\frac{121}{25}y )_0^8+\pi(289y-\frac{y^3}{3})_8^{17}\right)\\ \\ & = 2\left(\pi( \frac{1}{125} {8}^{5} +\frac{22}{75}8^3+\frac{121}{25}8 )+\pi(289(17)-\frac{17^3}{3})-(289(8)-\frac{8^3}{3})\right)\\\\ &= 2\left(\frac{169144}{375} \pi + 1134\pi\right) \\ \\ &=2\left( 1585 \frac{19}{375} \pi\right)\\\\&=\boxed{3170\:\frac{38}{375}\:\pi\:satuan\:L}\end{aligned}$

$\therefore$ Volume Benda putar tersebut adalah $=\boxed{3170\:\frac{38}{375}\:\pi\:satuan\:L}$

$Penjelasan dengan langkah-langkah:GEOMETRI METODE INTEGRAL Diketahui : P.Lingkaran = x²+y² = 289Tipot Kurva = [tex]\left(\frac{11}{5},0\right)[/tex]A-C = 16 cm Ditanya : Volume benda putar mengelilingi yJawab : [tex]\because[/tex] Karena yang ditanyakan volume benda mengelilingi sumbu y , maka bentuk integralnya [tex]\boxed{\displaystyle\int\limits_a^b\:f(y)\:dy} \: [/tex]a = batas bawah b = batas atas f(y) = fungsi Tipot P.Lingkaran di sumbu y = ±17 Cari tipot kurva A atau C [tex]\because[/tex] AC = 16 cm sehingga sumbu simetri x membagi 16 cm menjadi 2 untuk sumbu ±y= ½16= 8 [tex]\therefore[/tex]Maka diperoleh Tipot A ( x , 8 ) , C ( x , -8 ) xA = xC Subtitusi nilai y ke dalam persamaan lingkaran untuk mencari nilai xA maupun xC [tex]\begin{aligned}x^2+y^2&=289\\x^2+(8)^2&=289\\x^2&=289-64\\x&=\sqrt{225}\\x&=15\end{aligned}[/tex]Dengan demikian tipot A ( 15 , 8 ) , dan C ( 15 , -8 )• Mencari persamaan kurva [tex]\because[/tex] Tipot & Tipun sudah diketahui , sehingga mencari persamaan kurvanya [tex]\boxed{x=a(y-y_p {)}^{2} +x_p}[/tex]x = 15y = 8 atau -8[tex]x_p=\frac{11}{5}[/tex][tex]y_p[/tex] = 0• Menentukan nilai a [tex]\begin{aligned}15&=a(8-0)^2+\frac{11}{5}\\15&=a64+\frac{11}{5}\\a64&=15-\frac{11}{5}\\a64&=\frac{75-5}{5}\\a64&=\frac{64}{5}\\a&=\frac{64}{5}\times\frac{1}{64}\\a&=\frac{1}{5}\end{aligned}[/tex]Maka bentuk persamaan kurva-nya [tex]x = \frac{1}{5} (y - y_{p} {)}^{2} + \frac{11}{5} \\\\ x = \frac{1}{5} {y}^{2} + \frac{11}{5}[/tex]Maka Batas integral lingkaran terpotong Kurva ialah ( 0 , 8 ) Dan batas integral lingkaran ( 8 , 17 ) Ubah semua bentuk persamaan kedalam bentuk x² P.Lingkaran x² + y² = 289x² = 289 - y² P.Kurva[tex]x^{2} = ( \frac{1}{5} {y}^{2} + \frac{11}{5} {)}^{2} \\ \\ x^{2} = ( \frac{1}{5} {y}^{2} + \frac{11}{5} )( \frac{1}{5} {y}^{2} + \frac{11}{5} ) \\ \\ x {}^{2} = \frac{1}{25} {y}^{4} + \frac{22}{25} {y}^{2} + \frac{121}{25}[/tex][tex]\therefore[/tex] Maka Volume benda [tex]=2\left( \pi\displaystyle\int\limits_0^8 \frac{1}{25}y^4+\frac{22}{25}y^2+\frac{121}{25}\:dy+\pi\int\limits_8^{17}\:289-y^2\:dy \right)\\ \\[/tex][tex]\begin{aligned} & = 2\left(\pi( \frac{1}{125} {y}^{5} +\frac{22}{75}y^3+\frac{121}{25}y )_0^8+\pi(289y-\frac{y^3}{3})_8^{17}\right)\\ \\ & = 2\left(\pi( \frac{1}{125} {8}^{5} +\frac{22}{75}8^3+\frac{121}{25}8 )+\pi(289(17)-\frac{17^3}{3})-(289(8)-\frac{8^3}{3})\right)\\\\ &= 2\left(\frac{169144}{375} \pi + 1134\pi\right) \\ \\ &=2\left( 1585 \frac{19}{375} \pi\right)\\\\&=\boxed{3170\:\frac{38}{375}\:\pi\:satuan\:L}\end{aligned}[/tex][tex]\therefore[/tex] Volume Benda putar tersebut adalah [tex]=\boxed{3170\:\frac{38}{375}\:\pi\:satuan\:L}[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh CLA1R0 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 25 Jul 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

VOLUME BENDA PUTAR Daerah yang dibatasi oleh Lingkaran dan kurva

Jawaban dan Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika