Diberikan polinomial P(x) = x^3+x+ 1. Banyaknya bilangan real a yang

Berikut ini adalah pertanyaan dari chisucake pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diberikan polinomial P(x) = x^3+x+ 1.Banyaknya bilangan real a yang memenuhi
P(a) = P(P(a)) adalah

A. 9
B. 1
C. 3
D. 2

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Kita akan membuktikan banyaknya bilangan real $a$ yang memenuhi soal diatas adalahsatu dengan langkah-langkah berikut :

membuktikan bahwa Polinomial $P(x)$ adalah fungsi bijektif
merubah permasalahan di soal jadi masalah mencari titik tetap
membuktikan bahwa fungsi titik tetap adalah fungsi bijektif
menyimpulkan bahwa banyaknya titik tetap adalah satu

Polinomial $P(x)$ adalah fungsi bijektif

Perhatikan bahwa polinomial

$P(x) = x^3+x+1$

adalah fungsi yang pada dan satu-satu

Kita bisa menunjukan $P(x)$ fungsi pada dengan memperhatikan bahwa $P(x)$ adalah fungsi kontinu di real dengan

$\lim_{x\rightarrow -\infty} P(x) = -\infty$ dan

$\lim_{x\rightarrow \infty} P(x) = \infty$

dengan teorema nilai antara, kita dapat $P(x)$ adalah fungsi yang pada di real, $\text{Im}(P) = \mathbb{R}$ , jadi untuk semua $y$ , terdapat $a$ sehingga $P(a) = y$ .

Kita bisa menunjukan $P(x)$ satu-satu dengan memperhatikan bahwa

$P'(x) = 3x^2+1 > 0$

Jadi $P(x)$ monoton naik murni/strictly increasing, akibatnya $P(x)$ fungsi satu-satu.

Akibat dari bijektifnya polinomial $P(x)$

Karena $f$ bijektif, Akibatnya setiap titik $y \in \mathbb{R}$ berkorespodensi terhadap tepat satu titik $a \in \mathbb{R}$ dengan $P(a) = y,$ Sehingga kita tidak perlu mencari $a$ , kita hanya perlu mencari semua titik tetap $y$ , yaitu titik dimana

$y = P(y)$ . (Ф)

Fungsi titik tetap adalah fungsi bijektif

Kemudian, perhatikan fungsi titik tetap yang didefinisikan sebagai

$f(y) = P(y) - y$

$= y^3 + y + 1 - y$

$= y^3+1$ .

Fungsi ini adalah fungsi yang pada dan satu-satu

Kita bisa menunjukan $f(y)$ pada dengan argumen limit dan kontinu yang sama dengan sebelumnya. Kemudian, kita bisa tunjukan $f$ satu-satu dengan persamaan dibawah