1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

apaka a, b dan c bebas/tidak bebas linier

Berikut ini adalah pertanyaan dari BrainChamp pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Apaka a, b dan c bebas/tidak bebas linier
apaka a, b dan c bebas/tidak bebas linier

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c} BEBAS LINIER.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Vektor: Hubungan Bebas Linier

Salah satu cara untuk menentukan apakah beberapa vektor dalam sebuah himpunan vektor saling bebas linier atau tidak, adalah dengan menyusun sistem persamaan homogen dari vektor-vektor tersebut di mana setiap persamaannya bernilai 0. Jika semua variabel ditemukan bernilai 0, maka vektor-vektor tersebut bebas linier.

Diketahui:

3 vektor berada pada R^4:

\begin{aligned}\bullet\ &\vec{a}=\left(3,\,2,\,1,\,-3\right)\\\bullet\ &\vec{b}=\left(4,\,2,\,1,\,-2\right)\\\bullet\ &\vec{c}=\left(2,\,1,\,3,\,-1\right)\\\end{aligned}

Ditanyakan:

Apakah \vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c} bebas / tidak bebas linier?

Penyelesaian

Ambil m_1, m_2, dan m_3 sehingga:

\begin{aligned}m_1\vec{a}+m_2\vec{b}+m_3\vec{c}=0\end{aligned}

Kita selesaikan dan periksa, jika m_1=m_2=m_3=0, maka \vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c} bebas linier.

Agar lebih mudah melihatnya, kita ubah notasi vektor di atas menjadi vektor kolom. ("lebih mudah" ini hanya pendapat personal dari saya saja.)

\begin{aligned}&m_1\begin{pmatrix}3\\2\\1\\-3\end{pmatrix}+m_2\begin{pmatrix}4\\2\\1\\-2\end{pmatrix}+m_3\begin{pmatrix}2\\1\\3\\-1\end{pmatrix}=0\\&\Rightarrow \begin{cases}3m_1+4m_2+2m_3\!\!&=0\\2m_1+2m_2+m_3&=0\\m_1+m_2+3m_3&=0\\-3m_1-m_2-m_3\!\!&=0\\\end{cases}\\&\Rightarrow \textsf{Matriks koefisien}:\\&\qquad M=\begin{pmatrix}3&4&2\\ 2&2&1\\ 1&1&3\\ -3&-1&-1\end{pmatrix}\end{aligned}

Matriks M bukan matriks persegi. Oleh karena itu, kita tidak bisamenentukan kebebaslinieran ketiga vektor di atas denganmetode determinan.

Kita gunakan metode OBE agar menghasilkan matrix eselon baris. Tidak perlu menggunakan matriks lengkap (augmented matrix) karena ruas kanan sama dengan 0.

\begin{aligned}&\begin{pmatrix}3&4&2\\ 2&2&1\\ 1&1&3\\ -3&-1&-1\end{pmatrix}\\&\textsf{---------------------------------------------------------}\\&\begin{array}{r}\vphantom{\Big|}R_2-\frac{2}{3}R_1\to R_2\\R_3-\frac{1}{3}R_1\to R_3\end{array}\Rightarrow\begin{pmatrix}3&4&2\\ 0&-2/3&-1/3\\ 0&-1/3&7/3\\ -3&-1&-1\end{pmatrix}\\&\textsf{---------------------------------------------------------}\end{aligned}
\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_4+R_1\to R_4\end{array}\Rightarrow\begin{pmatrix}3&4&2\\ 0&-2/3&-1/3\\ 0&-1/3&7/3\\ 0&3&2\end{pmatrix}\\&\textsf{---------------------------------------------------------}\\&\begin{array}{r}R_3+\frac{1}{3}R_4\to R_3\end{array}\Rightarrow\begin{pmatrix}3&4&2\\ 0&-2/3&-1/3\\ 0&0&3\\ 0&3&2\end{pmatrix}\end{aligned}

Sampai sini sudah cukup, karena kita sudah menemukan nilai m_3 dari baris ke-3. Jika dilanjutkan, kita dapat membuat semua elemen pada baris ke-4 menjadi bernilai 0, karena terdapat baris ke-2 yang 1 kolomnya nol, dan baris ke-3 yang 2 kolomnya 0.

Dari baris ke-3:

3m_3=0\implies m_3=\bf0

Untuk baris ke-2:

\begin{aligned}&-\frac{2}{3}m_2-\frac{1}{3}m_3=0\\&\Rightarrow -\frac{2}{3}m_2=0\\&\Rightarrow m_2=\bf0\\\end{aligned}

Untuk baris ke-4, serupa dengan baris ke-2.

\begin{aligned}&3m_2+2m_3=0\\&\Rightarrow 3m_2=0\\&\Rightarrow m_2=\bf0\\\end{aligned}

Untuk baris ke-1:

\begin{aligned}&3m_1+4m_2+2m_3=0\\&\Rightarrow 3m_1=0\\&\Rightarrow m_1=\bf0\end{aligned}

Maka, sistem persamaan homogen di atas memiliki solusi tunggal, yaitu m_1=m_2=m_3=\bf0.

∴ Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:
\vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c} bebas linier.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 29 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>