4. Diketahui PR : RQ = 2:1 dengan koordinat titik P(2 - 4) dan Q(5, 2) Koordinat titik R adalah....

Diketahui bahwa perbandingan panjang PR dan RQ adalah 2:1. Oleh karena itu, jika kita letakkan titik R pada garis lurus yang menghubungkan titik P dan Q, maka titik R akan membagi garis tersebut dalam perbandingan yang sama. Dengan demikian, jarak dari titik P ke titik R adalah dua pertiga dari jarak titik P ke titik Q.

Dalam koordinat kartesian, jarak antara dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Maka jarak antara titik P dan titik Q adalah:

d(PQ) = sqrt((5 - 2)^2 + (2 - (-4))^2) = sqrt(9 + 36) = sqrt(45)

Jadi, jarak antara titik P dan titik R adalah:

d(PR) = (2/3) * d(PQ) = (2/3) * sqrt(45)

Titik R terletak pada garis yang menghubungkan titik P dan Q dengan perbandingan jarak PR : RQ = 2:1. Dalam hal ini, koordinat titik R dapat dicari dengan menggunakan rumus persamaan garis:

y - y1 = m(x - x1)

di mana m adalah kemiringan garis (slope), dan (x1, y1) adalah salah satu titik yang dilalui oleh garis. Kemiringan garis dapat dihitung dengan rumus:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

di mana (x1, y1) dan (x2, y2) adalah dua titik yang dilalui oleh garis.

Maka, kemiringan garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah:

m = (2 - (-4)) / (5 - 2) = 2

Dengan menggunakan persamaan garis, titik R dapat dicari dengan mengganti m, x1, dan y1 dengan nilai yang sesuai:

y - y1 = m(x - x1)
y - (-4) = 2(x - 2)
y + 4 = 2x - 4
y = 2x - 8

Koordinat titik R adalah titik yang terletak pada garis ini dan membagi jarak PR dan RQ dalam perbandingan 2:1. Kita dapat menuliskan persamaan berikut untuk menentukan koordinat titik R:

PR = 2/3 * PQ
d(PR) = sqrt((x - 2)^2 + (y - (-4))^2)
d(RQ) = sqrt((5 - x)^2 + (2 - y)^2)

Dengan mensubstitusikan nilai d(PR) dan d(RQ), serta menyelesaikan sistem persamaan, maka koordinat titik R dapat dicari:

2/3 * sqrt(45) = sqrt((x - 2)^2 + (y + 4)^2)
1/3 * sqrt(45) = sqrt((5 - x)^2 + (2 - y)^2)
2/3 * sqrt(45) + 1/3 * sqrt(45) = sqrt((x - 2)^2 + (