tentukan nilai karakteristik dan vektor karakteristik

Berikut ini adalah pertanyaan dari BrainChamp pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan nilai karakteristik dan vektor karakteristik

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai karakteristikdari matriks B adalahλ = –1danλ = 5.

Vektor karakteristik dari matriks B adalah:

Untuk λ = –1:
$X=\begin{bmatrix}-2t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf{-}2\\\bf1\end{bmatrix}$
Untuk λ = 5:
$X=\begin{bmatrix}t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf1\\\bf1\end{bmatrix}$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik

Jika A adalah matriks persegi n×n, maka vektor tidak-nol X di $\sf R^n$ disebutvektor karakteristik (vektor eigen) dari A, jika memenuhi AX = λX.

Sedangkan λadalah nilai skalar yang disebutnilai karakteristik (nilai eigen).

Untuk mencari nilai karakteristik dari sebuah matriks, kita gunakan persamaan karakteristik:
det(λI – A) = 0ataudet(A – λI) = 0.

Pada soal diberikan matriks:

$B=\begin{bmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{bmatrix}$

a. Menentukan Nilai Karakteristik

$\begin{aligned}\lambda I-B&=\lambda\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\lambda-1 & -4\\ -2 & \lambda-3\end{bmatrix}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\det(\lambda I-B)&=0\\\begin{vmatrix}\lambda-1 & -4\\ -2 & \lambda-3\end{vmatrix}&=0\\(\lambda-1)(\lambda-3)-8&=0\\\lambda^2-4\lambda-5&=0\\(\lambda+1)(\lambda-5)&=0\\\therefore\ \lambda={\bf{-}1},\ \lambda&=\bf5\end{aligned}$

Jadi, nilai-nilai karakteristik (nilai-nilai eigen/eigenvalues) dari matriks B adalah:
λ = –1danλ = 5.

b. Menentukan Vektor Karakteristik

$\begin{aligned}(\lambda I-B)X&=0\\\begin{bmatrix}\lambda-1 & -4\\ -2 & \lambda-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}&=0\\\end{aligned}$

Untuk λ = –1:

$\begin{aligned}\begin{bmatrix}-2 & -4\\ -2 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}&=0\\\end{aligned}$

Kita bisa menyelesaikan dengan metode penyelesaian SPL “biasa” atau dengan matriks.

Pakai metode “biasa” saja, karena perkaliannya menghasilkan 2 baris yang sama.
–2x₁ – 4x₂ = 0
⇒ x₁ + 2x₂ = 0
⇒ x₁ = –2x₂
Ambil x₂ = t.
⇒ x₁ = –2t

Maka, vektor karakteristikdari matriks Buntuk λ = –1 adalah:

$X=\begin{bmatrix}-2t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf{-}2\\\bf1\end{bmatrix}$

Basis ruang eigen untuk λ = –1 adalah:

$\begin{bmatrix}\bf{-}2\\\bf1\end{bmatrix}$