1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan hasil dari limh→0 f(x+h)-f(x)/h jika f(x) = 2x³ -

Berikut ini adalah pertanyaan dari frazergaming86 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan hasil dari limh→0 f(x+h)-f(x)/h jika f(x) = 2x³ - 3x² - 4​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4, maka:
\begin{aligned}&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\boxed{\,6x^2-6x\,}\end{aligned}
 

Penjelasan

Definisi Turunan

Diketahui:
f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4

Ditanyakan:
\begin{aligned}&\textsf{Hasil dari }\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{aligned}

Penyelesaian

Cara 1: Dengan Aturan Turunan

Berdasarkan definisi turunan,

\begin{aligned}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{aligned}

Dengan aturan turunan, diperoleh:

\begin{aligned}f'(x)&=\left(2x^3-3x^2-4\right)'\\&=2\cdot\left(x^3\right)'-3\cdot\left(x^2\right)'-(4)'\\&=2\cdot3x^{3-1}-3\cdot2x^{2-1}-0\\&=6x^2-6x\end{aligned}

Jadi:
\begin{aligned}\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\boxed{\,6x^2-6x\,}\end{aligned}

Cara 2: Dengan Limit

Untuk mempermudah, kita dapat memfaktorkan f(x) terlebih dahulu.

\begin{aligned}f(x)&=2x^3-3x^2-4\\&=2x^2(x-2)+x^2-4\\&=2x^2(x-2)+x(x-2)+2x-4\\&=2x^2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)\\f(x)&=(x-2)\left(2x^2+x+2\right)\end{aligned}

Kemudian,

\begin{aligned}f(x+h)&=(x+h-2)\left(2(x+h)^2+x+h+2\right)\\&=(x-2+h)\left(2\left(x^2+2hx+h^2\right)+x+h+2\right)\\&=(x-2+h)\left(2x^2+4hx+2h^2+x+h+2\right)\\&=(x-2+h)\left(\left(2x^2+x+2\right)+2h^2+4hx+h\right)\\&=(x-2+h)\left(\left(2x^2+x+2\right)+h\left(2h+4x+1\right)\right)\\&=(x-2)\left(2x^2+x+2\right)+(x-2)\cdot h\left(2h+4x+1\right)\\&\quad+h\left(2x^2+x+2\right)+h^2\left(2h+4x+1\right)\\&=f(x)+h(x-2)\left(2h+4x+1\right)\\&\quad+h\left(2x^2+x+2\right)+h^2\left(2h+4x+1\right)\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&{=\ }\lim_{h\to0}\frac{\left(\begin{matrix}\cancel{f(x)}+h(x-2)\left(2h+4x+1\right)\\{}+h\left(2x^2+x+2\right)+h^2\left(2h+4x+1\right)\\{}-\cancel{f(x)}\end{matrix}\right)}{h}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\lim_{h\to0}\frac{\left(\begin{matrix}\cancel{h}(x-2)\left(2h+4x+1\right)\\{}+\cancel{h}\left(2x^2+x+2\right)+h^{\cancel{2}}\left(2h+4x+1\right)\end{matrix}\right)}{\cancel{h}}\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }\lim_{h\to0}\left[(x-2)\left(2h+4x+1\right)+\left(2x^2+x+2\right)+h\left(2h+4x+1\right)\right]\\&{=\ }(x-2)\left(2\cdot0+4x+1\right)+2x^2+x+2+0\left(2h+4x+1\right)\\&{=\ }(x-2)(4x+1)+2x^2+x+2\\&{=\ }4x^2-8x+x-\cancel{2}+2x^2+x+\cancel{2}\\&{=\ }4x^2+2x^2-7x+x\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\boxed{\,6x^2-6x\,}\end{aligned}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 21 May 23
<< Previous Post
Next Post >>