1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Soal Luas Antara Dua Kurva 1. Bidang R dibatasi oleh kurva

Berikut ini adalah pertanyaan dari sadammahendra1 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Soal Luas Antara Dua Kurva1. Bidang R dibatasi oleh kurva y = x² dan garis y = x + 6
2. Bidang R di batasi oleh kurva y = x² + 1 dan garis y = x pada [1-,2]
3. Bidang R dibatasi oleh kurva y = √x dan garis y = -x/4 pada [0,4]

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

  1. Luas bidang R yang dibatasi oleh kurva y = x²dan garisy = x + 6 adalah:
    L_{\rm R}=\boxed{\,\bf20\,\frac{5}{6}\,}\sf\ \ satuan\;luas.
  2. Luas bidang R yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1dan garisy = xpada[–1, 2] adalah:
    L_{\rm R}=\boxed{\,\bf4\,\frac{1}{2}\,}\sf\ \ satuan\;luas.
  3. Luas bidang R yang dibatasi oleh kurva y = √xdan garisy = –x/4pada[0, 4] adalah:
    L_{\rm R}=\boxed{\,\bf7\,\frac{1}{3}\,}\sf\ \ satuan\;luas.

 

Penjelasan

Luas Antara Dua Kurva

Nomor 1

DItanyakan:
Luas bidang R yang dibatasi oleh kurva y = x²dan garisy = x + 6.

Batas-batas
x² = x + 6
⇔ x² – x – 6 = 0
⇔ (x + 2)(x – 3) = 0
⇔ x = –2, x = 3

Posisi garis y = x + 6 berada “di atas” bidang R.

Maka, luas bidang R adalah:

\begin{aligned}L_{\rm R}&=\int_{a}^{b}\left(y_1-y_2\right)dx\\&=\int_{-2}^{3}\left(x+6-x^2\right)dx\\&=\left[\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{3}\\&=\left(\frac{3^2}{2}+6\cdot3-\frac{3^3}{3}\right)-\left(\frac{(-2)^2}{2}+6\cdot(-2)-\frac{(-2)^3}{3}\right)\\&=\left(\frac{9}{2}+18-9\right)-\left(2-12+\frac{8}{3}\right)\\&=\left(4\,\frac{1}{2}+9\right)-\left(-10+2\,\frac{2}{3}\right)\\&=13\,\frac{1}{2}-\left(-7\,\frac{1}{3}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&=13\,\frac{1}{2}+7\,\frac{1}{3}=13\,\frac{3}{6}+7\,\frac{2}{6}\\L_{\rm R}&=\boxed{\,\bf20\,\frac{5}{6}\,}\sf\ \ satuan\;luas.\end{aligned}
__________

Nomor 2

DItanyakan:
Luas bidang R yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1dan garisy = xpada[–1, 2].
(Pada soal tertulis [1-,2]. Mungkin ada kesalahan letak tanda minusnya.)

Untuk soal ini, perhatikan bahwa garis y = x melalui titik pusat koordinat (0, 0), sedangkan y = x² + 1 melalui titik (0, 1) pada sumbu-Y. Nilai minimum kurva y = x² + 1 adalah y = 1.
Maka, kurva y = x² + 1 berada di atas garis y = x.

Sebenarnya, untuk menentukan y_1dany_2 boleh saja tertukar. Jika tertukar, akan menghasilkan nilai integral yang negatif dengan nilai mutlak yang sama dengan nilai integral jika y_1dany_2 tidak tertukar. Maka, integral luas daerah dapat dinyatakan dengan nilai mutlak dari integral luas daerah yang dievaluasi.

Luas bidang R adalah:

\begin{aligned}L_{\rm R}&=\int_{a}^{b}\left(y_1-y_2\right)dx\\&=\int_{-1}^{2}\left(x^2+1-x\right)dx\\&=\left[\frac{x^3}{3}+x-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2}\\&=\left(\frac{2^3}{3}+2-\frac{2^2}{2}\right)-\left(\frac{(-1)^3}{3}+(-1)-\frac{(-1)^2}{2}\right)\\&=\left(\frac{8}{3}+2-2\right)-\left(\frac{-1}{3}-1-\frac{1}{2}\right)\\&=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}+1+\frac{1}{2}\\&=3+1\,\frac{1}{2}\\L_{\rm R}&=\boxed{\,\bf4\,\frac{1}{2}\,}\sf\ \ satuan\;luas.\end{aligned}
__________

Nomor 3

Ditanyakan:
Luas bidang R yang dibatasi oleh kurva y = √xdan garisy = –x/4pada[0, 4].

y = √x memiliki nilai y ≥ 0 untuk setiap x ≥ 0.
Sedangkan y = –x/4 memiliki nilai y ≤ 0 untuk setiap x ≥ 0.

Maka, luas bidang R adalah:

\begin{aligned}L_{\rm R}&=\int_{a}^{b}\left(y_1-y_2\right)dx\\&=\int_{0}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{-x}{4}\right)dx\\&=\int_{0}^{4}\left(x^{1/2}+\frac{x}{4}\right)dx\\&=\left[\frac{x^{3/2}}{3/2}+\frac{x^2}{8}\right]_{0}^{4}\\&=\left[\frac{2x\sqrt{x}}{3}+\frac{x^2}{8}\right]_{0}^{4}\\&=\left(\frac{2\cdot4\sqrt{4}}{3}+\frac{4^2}{8}\right)-0\\&=\frac{16}{3}+2=5\,\frac{1}{3}+2\\L_{\rm R}&=\boxed{\,\bf7\,\frac{1}{3}\,}\sf\ \ satuan\;luas.\end{aligned}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 04 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>