QUIZ (1364)Materi: Nilai Eigen dan Vektor EigenCarilah basis untuk ruang

Berikut ini adalah pertanyaan dari AdhidMGL pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

QUIZ (1364)Materi: Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Carilah basis untuk ruang eigen dari matriks $\rm A= \begin{bmatrix} -1&3\\2&0\end{bmatrix}$ !

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Basis untuk ruang eigen dari matriks $A=\begin{bmatrix}-1 &3 \\ 2 &0 \end{bmatrix}$ adalah $\begin{bmatrix}-3\\ 2\end{bmatrix}~dan~\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}$ .

PEMBAHASAN

Nilai eigen (dilambangkan dengan λ) merupakan nilai karakteristik dari suatu matriks n x n. Sedangkan vektor eigen merupakan vektor kolom bukan nol yang apabila dikalikan dengan suatu matriks n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor eigen itu sendiri.

Untuk mencari nilai eigen, maka matriks harus memenuhi persamaan:

$det(\lambda I-A)=0$

Dengan :

A = matriks yang ingin dicari nilai eigennya

I = matriks identitas

Sedangkan untuk mencari vektor eigennya, maka matriks harus memenuhi persamaan :

$(\lambda I-A)x=0$

DIKETAHUI

$Matriks~A=\begin{bmatrix}-1 &3 \\ 2 &0 \end{bmatrix}$

DITANYA

Tentukan basis untuk ruang eigen dari matriks A.

PENYELESAIAN

> Mencari nilai eigen.

$\lambda I-A=\lambda \begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1 &3 \\ 2 &0 \end{bmatrix}$

$\lambda I-A=\begin{bmatrix}\lambda+1 &-3 \\ -2 &\lambda \end{bmatrix}$

$det(\lambda I-A)=0$

$\lambda(\lambda+1)-(-2)(-3)=0$

$\lambda^2+\lambda-6=0$

$(\lambda+3)(\lambda-2)=0$

$\lambda=-3~atau~\lambda=2$

Diperoleh nilai eigennya adalah λ = -3 atau λ = 2.

> Mencari vektor eigen matriks A.

$(\lambda I-A)x=0$

$\begin{bmatrix}\lambda+1 &-3 \\ -2 &\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$

Untuk λ = -3 :

$\begin{bmatrix}-3+1 &-3 \\ -2 &-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-2 &-3 \\ -2 &-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$

Diperoleh persamaan :

$-2x_1-3x_2=0$

$-2x_1=3x_2$

$\displaystyle{x_1=-\frac{3}{2}x_2 }$

Misal $\displaystyle{x_2=2t~\to~x_1=-3t}$

Sehingga solusinya :

$\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}-3\\ 2\end{bmatrix}}_{basis}t$

Untuk λ = 2 :

$\begin{bmatrix}2+1 &-3 \\ -2 &2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}3 &-3 \\ -2 &2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$

Diperoleh persamaan :

$3x_1-3x_2=0$

$3x_1=3x_2$

$x_1=x_2$

Misal $\displaystyle{x_2=t~\to~x_1=t}$

Sehingga solusinya :

$\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}}_{basis}t$

KESIMPULAN

Basis untuk ruang eigen dari matriks $A=\begin{bmatrix}-1 &3 \\ 2 &0 \end{bmatrix}$ adalah $\begin{bmatrix}-3\\ 2\end{bmatrix}~dan~\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Mencari nilai dan vektor eigen : yomemimo.com/tugas/29297758
Mencari nilai dan vektor eigen : yomemimo.com/tugas/30149779
SPL dengan metode OBE : yomemimo.com/tugas/28244188
Solusi trivial dan non trivial : yomemimo.com/tugas/28232435

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Aljabar Linear

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 26 Jul 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah