Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menggunakan metode gauss, kita perlu mengubah persamaan menjadi sebuah matriks augmented. Pertama, kita tulis persamaan dalam bentuk matriks koefisien dan matriks konstanta.

\[\begin{pmatrix}1 & -2 & 5 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\end{pmatrix}\]

Kemudian tambahkan matriks konstanta sebagai kolom terakhir dari matriks koefisien untuk membentuk matriks augmented.

\[\begin{pmatrix}1 & -2 & 5 & 12 \\ \end{pmatrix}\]

Selanjutnya, kita akan melakukan operasi baris elementer untuk menghilangkan elemen-elemen di bawah diagonal utama dan mendapatkan matriks segitiga atas. Dalam hal ini, kita hanya memiliki satu baris, jadi kita hanya perlu fokus pada operasi kolom.

Pertama-tama, kita akan mengalikan baris pertama dengan 2 dan menambahkan hasilnya ke baris kedua.

\[\begin{pmatrix}1 & -2 & 5 & 12 \\ 0 & -4 & 15 & 24 \\ \end{pmatrix}\]

Kemudian, kita akan mengalikan baris pertama dengan 5 dan menambahkan hasilnya ke baris ketiga.

\[\begin{pmatrix}1 & -2 & 5 & 12 \\ 0 & -4 & 15 & 24 \\ 0 & 3 & 25 & 60 \\\end{pmatrix}\]

Sekarang, kita sudah memiliki matriks segitiga atas. Kita dapat melihat solusinya dengan melakukan back-substitution. Dari baris terakhir, kita dapat memperoleh nilai z:

\[25z = 60 \Rightarrow z = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}\]

Kemudian, kita dapat mempergunakan nilai z pada baris kedua untuk memperoleh nilai y:

\[-4y + 15(\frac{12}{5}) = 24 \Rightarrow -4y = -12 \Rightarrow y = 3\]

Terakhir, kita dapat mempergunakan nilai y dan z pada baris pertama untuk memperoleh nilai x:

\[x - 2(3) + 5(\frac{12}{5}) = 12 \Rightarrow x = 3\]

Jadi, solusinya adalah (3,3,12/5).