Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = -2x³ + 3x² pada interval (-1/2, 2), kita perlu mencari titik-titik stasioner dan mengevaluasi apakah mereka adalah maksimum lokal, minimum lokal, atau titik sedang.

1. Mencari turunan pertama dan turunan kedua fungsi:

f(x) = -2x³ + 3x²

f'(x) = -6x² + 6x

f''(x) = -12x + 6

2. Mencari titik-titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan f'(x) = 0:

-6x² + 6x = 0

6x(-x + 1) = 0

Sehingga titik stasioner adalah x = 0 dan x = 1.

3. Mengevaluasi apakah titik-titik tersebut adalah maksimum lokal, minimum lokal, atau titik sedang. Untuk melakukan ini, kita dapat menggunakan turunan kedua:

a. Titik x = 0:

f''(0) = -12(0) + 6 = 6 > 0

Maka titik x = 0 adalah titik minimum lokal.

b. Titik x = 1:

f''(1) = -12(1) + 6 = -6 < 0

Maka titik x = 1 adalah titik maksimum lokal.

4. Selanjutnya, kita harus memeriksa apakah ada nilai maksimum atau minimum pada batas interval. Untuk itu, kita perlu mengevaluasi nilai fungsi pada titik-titik batas interval:

f(-1/2) = -7/8

f(2) = -8

Maka nilai maksimum adalah f(1) = -2(1)³ + 3(1)² = 1, dan nilai minimum adalah f(-1/2) = -7/8.

Sehingga nilai maksimum dari fungsi f(x) = -2x³ + 3x² pada interval (-1/2, 2) adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -7/8.