Diberikan hiperbola [tex]\displaystyle \frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{18}=1[/tex] dan garis [tex]\displaystyle 3x+2y+1=0[/tex] 1. Pada hiperbola

Berikut ini adalah pertanyaan dari peesbedrf pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diberikan hiperbola $\displaystyle \frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{18}=1$ dan garis $\displaystyle 3x+2y+1=0$ 1. Pada hiperbola tentukan koordinat titik terdekat terhadap garis $\displaystyle 3x+2y+1=0$
2. Tentukan jarak titik terdekat itu ke garis $\displaystyle 3x+2y+1=0$
3. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik terdekat itu

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pada hiperbola, koordinat titik terdekat terhadap garis 3x + 2y + 1 = 0 adalah:
(–6, 3).
Jarak dari titik terdekat itu ke garis 3x + 2y + 1 = 0 adalah:
(11/13)√13.
Persamaan garis singgung yang melalui titik terdekat itu adalah:
3x + 2y + 12 = 0.

Penjelasan

Hiperbola

Kita perhatikan bahwa hiperbola $H$ : (x²/24) – (y²/18) = 1, atau ekuivalen dengan hiperbola $H$ : 3x² – 4y² = 72, adalah hiperbola 2-sisi (kanan dan kiri yang saling berhadapan), memiliki titik pusat (0, 0), dan simetris baik terhadap sumbu-X maupun sumbu-Y.

Kemudian, garis $g$ : 3x + 2y + 1 = 0atau ekuivalen dengany = (–3/2)x – ½, adalah garis lurus bergradien –3/2 yang memotong sumbu-X pada titik (–1/3, 0).

Maka, jarak terdekat dari hiperbola $H$ ke garis $g$ diperoleh dari sebuah titik pada hiperbola $H$ yang berada dikuadran II (x < 0 dan y > 0).

Kita tentukan titik tersebut.

$\begin{aligned}3x^2-4y^2&=72\\3x^2&=4y^2+72\\6x\,dx&=8y\,dy\\3x\,dx&=4y\,dy\\\frac{dy}{dx}&=\frac{3x}{4y}\end{aligned}$

$dy/dx$ adalahgradien garis singgunghiperbola $H$ pada titik yang kita cari yang nilainya sama dengan –3/2, sehingga:

$\begin{aligned}\frac{3x}{4y}&=-\frac{3}{2}\\\frac{x}{2y}&=-1\ \Leftrightarrow x=-2y\end{aligned}$

Substitusikan ke persamaan hiperbola $H$ .

$\begin{aligned}3x^2-4y^2&=72\\3(-2y)^2-4y^2&=72\\12y^2-4y^2&=72\\8y^2&=72\\y^2&=9\\y > 0\Rightarrow y&={\bf3},\ x=\bf{-}6\end{aligned}$
Kita peroleh titik (–6, 3).

Kemudian, kita hitung jarak dari titik (–6, 3) ke garis g.

$\begin{aligned}d&=\frac{\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\bullet\ &g:3x+2y+1=0\\&\Rightarrow a=3,\ b=2,\ c=1\\\bullet\ &(-6,3)\\&\Rightarrow x_1=-6,\ y_1=3\\d&=\frac{\left|3(-6)+2(3)+1\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}\\&=\frac{\left|-18+6+1\right|}{\sqrt{9+4}}\\&=\frac{\left|-11\right|}{\sqrt{13}}=\frac{11}{\sqrt{13}}\\d&=\boxed{\,\bf\frac{11}{13}\sqrt{13}\,}\end{aligned}$

Last but not least, kita tentukan persamaan garis singgung hiperbola $H$ yang melalui titik (–6, 3).
Bentuk dasarnya sesuai bentuk garis $g$ , yaitu $3x + 2y + c = 0$ . Hanya nilai konstanta yang berbeda dengan konstanta garis g.

Substitusikan absis dan ordinatnya, kita peroleh:
c = –[ 3·(–6) + 2·3 ] = –(–12) = 12.

Maka, persamaan garis singgung yang melalui titik (–6, 3) adalah 3x + 2y + 12 = 0.

__________

Untuk lebih memperjelas, diberikan gambar kurva hiperbola $H$ (kurva hitam), garis $g$ (garis hijau), dan kedua garis singgung hiperbola $H$ yang sejajar dengan garis $g$ (biru dan merah).

Titik A adalah titik yang kita peroleh di atas, yaitu A(–6, 3). Titik B tidak dicari koordinatnya, walaupun dengan mudah saja dapat kita peroleh bahwa B(6, –3). Secara visual, dapat diamati bahwa jarak A ke C kurang dari jarak B ke D.
 
 
$\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}$

$Pada hiperbola, koordinat titik terdekat terhadap garis 3x + 2y + 1 = 0 adalah:(–6, 3).Jarak dari titik terdekat itu ke garis 3x + 2y + 1 = 0 adalah:(11/13)√13.Persamaan garis singgung yang melalui titik terdekat itu adalah:3x + 2y + 12 = 0. PenjelasanHiperbolaKita perhatikan bahwa hiperbola [tex]H[/tex] : (x²/24) – (y²/18) = 1, atau ekuivalen dengan hiperbola [tex]H[/tex] : 3x² – 4y² = 72, adalah hiperbola 2-sisi (kanan dan kiri yang saling berhadapan), memiliki titik pusat (0, 0), dan simetris baik terhadap sumbu-X maupun sumbu-Y.Kemudian, garis [tex]g[/tex] : 3x + 2y + 1 = 0 atau ekuivalen dengan y = (–3/2)x – ½, adalah garis lurus bergradien –3/2 yang memotong sumbu-X pada titik (–1/3, 0).Maka, jarak terdekat dari hiperbola [tex]H[/tex] ke garis [tex]g[/tex] diperoleh dari sebuah titik pada hiperbola [tex]H[/tex] yang berada di kuadran II (x < 0 dan y > 0). Kita tentukan titik tersebut.[tex]\begin{aligned}3x^2-4y^2&=72\\3x^2&=4y^2+72\\6x\,dx&=8y\,dy\\3x\,dx&=4y\,dy\\\frac{dy}{dx}&=\frac{3x}{4y}\end{aligned}[/tex][tex]dy/dx[/tex] adalah gradien garis singgung hiperbola [tex]H[/tex] pada titik yang kita cari yang nilainya sama dengan –3/2, sehingga:[tex]\begin{aligned}\frac{3x}{4y}&=-\frac{3}{2}\\\frac{x}{2y}&=-1\ \Leftrightarrow x=-2y\end{aligned}[/tex]Substitusikan ke persamaan hiperbola [tex]H[/tex].[tex]\begin{aligned}3x^2-4y^2&=72\\3(-2y)^2-4y^2&=72\\12y^2-4y^2&=72\\8y^2&=72\\y^2&=9\\y > 0\Rightarrow y&={\bf3},\ x=\bf{-}6\end{aligned}[/tex]Kita peroleh titik (–6, 3).Kemudian, kita hitung jarak dari titik (–6, 3) ke garis g.[tex]\begin{aligned}d&=\frac{\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\bullet\ &g:3x+2y+1=0\\&\Rightarrow a=3,\ b=2,\ c=1\\\bullet\ &(-6,3)\\&\Rightarrow x_1=-6,\ y_1=3\\d&=\frac{\left|3(-6)+2(3)+1\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}\\&=\frac{\left|-18+6+1\right|}{\sqrt{9+4}}\\&=\frac{\left|-11\right|}{\sqrt{13}}=\frac{11}{\sqrt{13}}\\d&=\boxed{\,\bf\frac{11}{13}\sqrt{13}\,}\end{aligned}[/tex]Last but not least, kita tentukan persamaan garis singgung hiperbola [tex]H[/tex] yang melalui titik (–6, 3).Bentuk dasarnya sesuai bentuk garis [tex]g[/tex], yaitu [tex]3x + 2y + c = 0[/tex]. Hanya nilai konstanta yang berbeda dengan konstanta garis g.Substitusikan absis dan ordinatnya, kita peroleh:c = –[ 3·(–6) + 2·3 ] = –(–12) = 12.Maka, persamaan garis singgung yang melalui titik (–6, 3) adalah 3x + 2y + 12 = 0.__________Untuk lebih memperjelas, diberikan gambar kurva hiperbola [tex]H[/tex] (kurva hitam), garis [tex]g[/tex] (garis hijau), dan kedua garis singgung hiperbola [tex]H[/tex] yang sejajar dengan garis [tex]g[/tex] (biru dan merah).Titik A adalah titik yang kita peroleh di atas, yaitu A(–6, 3). Titik B tidak dicari koordinatnya, walaupun dengan mudah saja dapat kita peroleh bahwa B(6, –3). Secara visual, dapat diamati bahwa jarak A ke C kurang dari jarak B ke D.  [tex]\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 18 May 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Diberikan hiperbola [tex]\displaystyle \frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{18}=1[/tex] dan garis [tex]\displaystyle 3x+2y+1=0[/tex] 1. Pada hiperbola

Jawaban dan Penjelasan

Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika