1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis ⁽⁹¹⁾ [tex]p=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}\\\\q=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}[/tex] p⁴ + (p+q)⁴ + q⁴ = ....

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis ⁽⁹¹⁾p=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}\\\\q=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}

p⁴ + (p+q)⁴ + q⁴ = ....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

p⁴ + (p+q)⁴ + q⁴ = 1152.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan dua buah nilai:

\displaystyle p=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\,,\ q=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}

Dari nilai p dan q tersebut:
p = 1/q ⇒ pq = 1

Kita perhatikan bentuk akarnya.

\begin{aligned}&\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\&{=\ }\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a-b}\\&{=\ }2\left(\frac{a+b}{a-b}\right)\end{aligned}

Lalu,

\begin{aligned}p^4+q^4&=(p+q)^4-4(pq)\left(p^2+q^2\right)-6(pq)^2\\&=(p+q)^4-4\left(p^2+q^2\right)-6\quad\because pq=1\\&=(p+q)^4-4\left((p+q)^2-2pq\right)-6\\&=(p+q)^4-4\left((p+q)^2-2\right)-6\quad\because pq=1\\&=(p+q)^4-4(p+q)^2+2\end{aligned}

Jadi, dengan mengambil

\begin{aligned}\bullet\ &a=7\\\bullet\ &b=3\\\bullet\ &p=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\\\bullet\ &q=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\\end{aligned}

sehingga p + q = 2(a+b)/(a-b) = 2(10)/4 = 5, maka penyelesaiannya menjadi seperti berikut ini.

\begin{aligned}&p^4+(p+q)^4+q^4\\&{=\ }(p+q)^4+p^4+q^4\\&{=\ }(p+q)^4+(p+q)^4-4(p+q)^2+2\\&{=\ }2(p+q)^4-4(p+q)^2+2\\&{=\ }2\cdot5^4-4\cdot5^2+2\\&{=\ }2\cdot25^2-4\cdot25+2\\&{=\ }2\cdot625-100+2\\&{=\ }1250-100+2\\&{=\ }1150+2\\&{=\ }\boxed{\,\bf1152\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 13 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>