1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

tentukan nilai x, y, dan z ​

Berikut ini adalah pertanyaan dari abrahamxaxiela pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan nilai x, y, dan z
​
tentukan nilai x, y, dan z ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

  • a. x = 3, y = 4, dan z = 6.
  • b. x = 1/3, y = –1, dan z = 1/4.

 

Penjelasan

Soal a.

Diberikan sistem persamaan:

\begin{cases}\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{y}+\dfrac{6}{z}=1\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{9}{x}+\dfrac{8}{y}-\dfrac{12}{z}=3\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{9}{x}-\dfrac{4}{y}+\dfrac{12}{z}=4\\\end{cases}

Memperhatikan ketiga persamaan tersebut, dapat kita ambil:
X=3/x,\ Y=4/y,\ Z=6/z
sehingga sistem persamaan tersebut ekuivalen dengan

\begin{cases}\ \:X-\;\,Y+\ \,Z=1&(i)\\3X+2Y-2Z=3&(ii)\\3X-\;\,Y+2Z=4&(iii)\\\end{cases}

Kemudian, selesaikan untuk X, Y, dan Z.

Dari persamaan (i), diperoleh:

\begin{aligned}&X-Y+Z=1\\&\Leftrightarrow X-1=Y-Z\\&\Leftrightarrow Y-Z=X-1\quad...(iv)\end{aligned}

Substitusi persamaan (iv) ke dalam persamaan (ii).

\begin{aligned}&3X+2Y-2Z=3\\&\Leftrightarrow 3X+2(Y-Z)=3\\&\Leftrightarrow 3X+2(X-1)=3\\&\Leftrightarrow 3X+2X-2=3\\&\Leftrightarrow 5X=5\\&\Leftrightarrow X=\bf1\end{aligned}

Substitusi nilai X ke dalam persamaan (iv).

\begin{aligned}&Y-Z=X-1\\&\Leftrightarrow Y-Z=1-1=0\\&\Leftrightarrow Y=Z\quad...(v)\end{aligned}

Kemudian, substitusi YmenjadiZ atau sebaliknya pada persamaan (ii) atau (iii), dan substitusi X dengan 1, akan memberikan nilai YdanZ.

Pada persamaan (iii):

\begin{aligned}&3X-Y+2Z=4\\&(X\leftarrow 1,\ Z\leftarrow Y)\\&\Leftrightarrow 3-Y+2Y=4\\&\Leftrightarrow 3+Y=4\\&\Leftrightarrow Y={\bf1},\ Z=\bf1\end{aligned}

Karena X=Y=Z=1, maka:

\begin{aligned}\bullet\ &X=\frac{3}{x}\\&\Rightarrow x=\frac{3}{X}=\frac{3}{1}=\bf3\\\bullet\ &Y=\frac{4}{y}\\&\Rightarrow y=\frac{4}{Y}=\frac{4}{1}=\bf4\\\bullet\ &Z=\frac{6}{z}\\&\Rightarrow z=\frac{6}{Z}=\frac{6}{1}=\bf6\\\end{aligned}

Pemeriksaan

\begin{aligned}&\bullet&\frac{3}{x}-\frac{4}{y}+\frac{6}{z}&=\frac{3}{3}-\frac{4}{4}+\frac{6}{6}\\&&&=1-1+1\\&&&=0\ \Rightarrow \sf benar!\\&\bullet&\frac{9}{x}+\frac{8}{y}-\frac{12}{z}&=\frac{9}{3}+\frac{8}{4}-\frac{12}{6}\\&&&=3+2-2\\&&&=3\ \Rightarrow \sf benar!\\&\bullet&\frac{9}{x}-\frac{4}{y}+\frac{12}{z}&=\frac{9}{3}-\frac{4}{4}+\frac{12}{6}\\&&&=3-1+2\\&&&=4\ \Rightarrow \sf benar!\\\end{aligned}

∴ Dengan demikian, x = 3, y = 4, dan z = 6.
____________

Soal b.

Diberikan sistem persamaan:

\begin{cases}\vphantom{\Bigg|}\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{1}{2}\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{1}{3}\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{xz}{x+z}=\dfrac{1}{7}\\\end{cases}

Dengan mengganti kedua ruas pada setiap persamaan tersebut menjadi kebalikannya, sistem persamaan tersebut ekuivalen dengan:

\begin{cases}\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+y}{xy}=2\\\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2&(i)\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{y+z}{yz}=3\\\Rightarrow\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3&(ii)\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+z}{xz}=7\\\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=7&(iii)\end{cases}

Kurangkan persamaan (ii) dari (i).

\begin{aligned}\frac{1}{x}+\cancel{\frac{1}{y}}&=2\\\cancel{\frac{1}{y}}+\frac{1}{z}&=3\\\textsf{---------}&\textsf{------}\ -\\\frac{1}{x}-\frac{1}{z}&=-1\quad...(iv)\end{aligned}

Lalu, jumlahkan persamaan (iii) dan (iv).

\begin{aligned}\frac{1}{x}+\cancel{\frac{1}{z}}&=7\\\frac{1}{x}-\cancel{\frac{1}{z}}&=-1\\\textsf{---------}&\textsf{---------}\ +\\\frac{2}{x}&=6\\\Leftrightarrow x&=\frac{2}{6}=\bf\frac{1}{3}\end{aligned}

Substitusi nilai x ke dalam persamaan (i).

\begin{aligned}&\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\\&\Leftrightarrow \frac{1}{1/3}+\frac{1}{y}=2\\&\Leftrightarrow 3+\frac{1}{y}=2\\&\Leftrightarrow \frac{1}{y}=2-3=-1\\&\Leftrightarrow y=\bf{-}1\end{aligned}

Terakhir, substitusi nilai x ke dalam persamaan (iii), atau nilai y ke dalam persamaan (ii).

\begin{aligned}&\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\\&\Leftrightarrow \frac{1}{-1}+\frac{1}{z}=3\\&\Leftrightarrow -1+\frac{1}{z}=3\\&\Leftrightarrow \frac{1}{z}=3+1=4\\&\Leftrightarrow z=\bf\frac{1}{4}\end{aligned}

Pemeriksaan

\begin{aligned}&\bullet&\frac{xy}{x+y}&=\frac{\left(\dfrac{1}{3}\cdot(-1)\right)}{\left(\dfrac{1}{3}+(-1)\right)}=\frac{\left(-\dfrac{1}{\cancel{3}}\right)}{\left(-\dfrac{2}{\cancel{3}}\right)}\\&&&=\frac{1}{2}\ \Rightarrow \sf benar!\end{aligned}
\begin{aligned}&\bullet&\frac{yz}{y+z}&=\frac{\left(-1\cdot\dfrac{1}{4}\right)}{\left(-1+\dfrac{1}{4}\right)}=\frac{\left (-\dfrac{1}{\cancel{4}}\right)}{\left(-\dfrac{3}{\cancel{4}}\right)}\\&&&=\frac{1}{3}\ \Rightarrow \sf benar!\end{aligned}
\begin{aligned}&\bullet&\frac{xz}{x+z}&=\frac{\left(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}\right)}{\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)}=\frac{\left(\dfrac{1}{\cancel{12}}\right)}{\left(\dfrac{7}{\cancel{12}}\right)}\\&&&=\frac{1}{7}\ \Rightarrow \sf benar!\\\end{aligned}

∴ Dengan demikian, x = 1/3, y = –1, dan z = 1/4.
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 28 May 23
<< Previous Post
Next Post >>