1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Jika fungsi kuadrat y=(x-2a) (2a-x)+b mempunyai nilai ektrim 3 dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari sintiafatika74 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika fungsi kuadrat y=(x-2a) (2a-x)+b mempunyai nilai ektrim 3 dan melalui titik (5, 2) tentukan nilai a+b​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika fungsi kuadrat y = (x – 2a)(2a – x) + b mempunyai nilai ekstrem 3 dan melalui titik (5, 2), maka:

  • nilai a + b = 5, jika a = 2, atau
  • nilai a + b = 6, jika a = 3.

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\begin{aligned}y&=(x-2a)(2a-x)+b\\&=-(x-2a)^2+b\end{aligned}

Nilai ekstremfungsi kuadrat terjadi padatitik stasioner (titik puncak fungsi kuadrat).

Cara 1: Dengan Aplikasi Turunan

Titik stasioner sebuah fungsi yang kontinu terjadi ketika turunan pertamanya bernilai 0.

\begin{aligned}y'&=0\\\left[-(x-2a)^2+b\right]'&=0\\-2(x-2a)&=0\\x-2a&=0\\x&=2a\end{aligned}

Karena nilai ekstremnya 3 pada saat x = 2a, dan kita tahu bahwa x-2a=2a - 2a=0, maka jelas bahwa b=\bf3, sehingga fungsi kuadrat tersebut adalah:

\begin{aligned}y&=-(x-2a)^2+3\end{aligned}

Karena diketahui grafik fungsi kuadrat melalui titik (5, 2):

\begin{aligned}2&=-(5-2a)^2+3\\2-3&=-(5-2a)^2\\-1&=-(5-2a)^2\\1&=(5-2a)^2\\5-2a&=\pm\sqrt{1}\\5-2a&=\pm1\\\bullet\ a_1&=\frac{5-1}{2}=2\\\bullet\ a_2&=\frac{5+1}{2}=3\\\end{aligned}

Oleh karena itu, nilai a+b adalah 5, jika a = 2, atau 6, jika a = 3.

Cara 2: Dengan Penjabaran Fungsi Kuadrat

\begin{aligned}y&=-(x-2a)^2+b\\&=-\left(x^2-4ax+4a^2\right)+b\\y&=-x^2+4ax+b-4a^2\\&\quad\Rightarrow A=-1,\ B=4a,\ C=b-4a^2\end{aligned}

Nilai ekstrem fungsi = 3. Maka:

\begin{aligned}y_{\sf puncak}&=-\frac{D}{4a}\\3&=-\frac{B^2-4AC}{4A}\\&=-\frac{(4a)^2-4\cdot(-1)\cdot\left(b-4a^2\right)}{4\cdot(-1)}\\&=-\frac{\cancel{16a^2}+4b-\cancel{16a^2}}{-4}\\&=\frac{4b}{4}\\3&=b\end{aligned}

Kita telah memperoleh nilai b=\bf3. Nilai a diperoleh dengan cara sama seperti cara 1 di atas.

Kesimpulannya, nilai a+b adalah 5, jika a = 2, atau 6, jika a = 3.
 

Untuk lebih memperjelas, diberikan grafik fungsi kuadrat dengan nilai a = 2 dan a = 3, di mana kedua grafik sama-sama memiliki nilai ekstrem 3 dan sama-sama melalui titik (5, 2).
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Jika fungsi kuadrat y = (x – 2a)(2a – x) + b mempunyai nilai ekstrem 3 dan melalui titik (5, 2), maka:nilai a + b = 5, jika a = 2, atau nilai a + b = 6, jika a = 3.  Penjelasan dengan langkah-langkah:[tex]\begin{aligned}y&=(x-2a)(2a-x)+b\\&=-(x-2a)^2+b\end{aligned}[/tex]Nilai ekstrem fungsi kuadrat terjadi pada titik stasioner (titik puncak fungsi kuadrat).Cara 1: Dengan Aplikasi TurunanTitik stasioner sebuah fungsi yang kontinu terjadi ketika turunan pertamanya bernilai 0.[tex]\begin{aligned}y'&=0\\\left[-(x-2a)^2+b\right]'&=0\\-2(x-2a)&=0\\x-2a&=0\\x&=2a\end{aligned}[/tex]Karena nilai ekstremnya 3 pada saat [tex]x = 2a[/tex], dan kita tahu bahwa [tex]x-2a=2a - 2a=0[/tex], maka jelas bahwa [tex]b=\bf3[/tex], sehingga fungsi kuadrat tersebut adalah:[tex]\begin{aligned}y&=-(x-2a)^2+3\end{aligned}[/tex]Karena diketahui grafik fungsi kuadrat melalui titik (5, 2):[tex]\begin{aligned}2&=-(5-2a)^2+3\\2-3&=-(5-2a)^2\\-1&=-(5-2a)^2\\1&=(5-2a)^2\\5-2a&=\pm\sqrt{1}\\5-2a&=\pm1\\\bullet\ a_1&=\frac{5-1}{2}=2\\\bullet\ a_2&=\frac{5+1}{2}=3\\\end{aligned}[/tex]Oleh karena itu, nilai a+b adalah 5, jika a = 2, atau 6, jika a = 3.Cara 2: Dengan Penjabaran Fungsi Kuadrat[tex]\begin{aligned}y&=-(x-2a)^2+b\\&=-\left(x^2-4ax+4a^2\right)+b\\y&=-x^2+4ax+b-4a^2\\&\quad\Rightarrow A=-1,\ B=4a,\ C=b-4a^2\end{aligned}[/tex]Nilai ekstrem fungsi = 3. Maka:[tex]\begin{aligned}y_{\sf puncak}&=-\frac{D}{4a}\\3&=-\frac{B^2-4AC}{4A}\\&=-\frac{(4a)^2-4\cdot(-1)\cdot\left(b-4a^2\right)}{4\cdot(-1)}\\&=-\frac{\cancel{16a^2}+4b-\cancel{16a^2}}{-4}\\&=\frac{4b}{4}\\3&=b\end{aligned}[/tex]Kita telah memperoleh nilai [tex]b=\bf3[/tex]. Nilai [tex]a[/tex] diperoleh dengan cara sama seperti cara 1 di atas.Kesimpulannya, nilai a+b adalah 5, jika a = 2, atau 6, jika a = 3. Untuk lebih memperjelas, diberikan grafik fungsi kuadrat dengan nilai a = 2 dan a = 3, di mana kedua grafik sama-sama memiliki nilai ekstrem 3 dan sama-sama melalui titik (5, 2).  [tex]\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 07 Aug 23
<< Previous Post
Next Post >>