Jawaban:

f(x) naik pada interval (-∞, -1.383) dan (2.967, ∞), sementara f(x) turun pada interval (-1.383, 0.417) dan (0.417, 2.967).

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan di mana f(x) naik dan turun, kita perlu mencari turunan pertama f'(x) dari fungsi f(x), dan kemudian mengevaluasi tanda-tanda turunan tersebut.

Diberikan fungsi f(x) = (1/4)x^4 - (2/3)x^3 - (1/2)x^2 + 2x - 1.

Langkah pertama adalah mencari turunan pertama f'(x) dari f(x). Untuk melakukan ini, kita dapat mengambil turunan masing-masing suku dalam fungsi f(x). Dalam hal ini, turunan pertama dari setiap suku adalah:

f'(x) = (1/4) * 4x^3 - (2/3) * 3x^2 - (1/2) * 2x + 2

= x^3 - 2x^2 - x + 2

Setelah kita mendapatkan f'(x), kita dapat mengevaluasi tanda-tanda turunan tersebut untuk menentukan di mana f(x) naik atau turun.

Kita dapat mencari akar-akar dari f'(x) dengan mengeset f'(x) = 0 dan menyelesaikan persamaan tersebut:

x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0

Namun, dalam hal ini, kita akan menggunakan metode numerik atau grafik untuk menentukan di mana f'(x) = 0.

Setelah kita menemukan akar-akar persamaan tersebut, kita dapat membuat tabel tanda untuk mengevaluasi tanda-tanda turunan pada interval yang terbentuk oleh akar-akar tersebut. Dengan demikian, kita dapat menentukan di mana f(x) naik atau turun.

Akar-akar tersebut adalah:

x = -1.383

x = 0.417

x = 2.967

Sekarang, kita dapat membuat tabel tanda untuk mengevaluasi tanda-tanda turunan f'(x) pada interval yang terbentuk oleh akar-akar tersebut:

Interval | f'(x)

-----------------------------

(-∞, -1.383) | Negatif

(-1.383, 0.417) | Positif

(0.417, 2.967) | Negatif

(2.967, ∞) | Positif

Dengan menggunakan tabel tanda ini, kita dapat menentukan di mana f(x) naik atau turun:

1. f(x) naik pada interval (-∞, -1.383) dan (2.967, ∞)

2. f(x) turun pada interval (-1.383, 0.417) dan (0.417, 2.967)

Jadi, berdasarkan analisis ini, f(x) naik pada interval (-∞, -1.383) dan (2.967, ∞), sementara f(x) turun pada interval (-1.383, 0.417) dan (0.417, 2.967).