Jawab:

Diberikan b dan g > 0. Buktikan bahwa (x, y) = g dan x. y = b dapat dipecahkan jika dan hanya jika g²|b. ​

Kita akan membuktikan dua bagian dari pernyataan tersebut.

Pertama, jika (x, y) = g dan x.y = b, maka g²|b.

Karena (x, y) = g, maka g adalah faktor dari x dan y. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan x = gm dan y = gn untuk beberapa bilangan bulat m dan n.

Karena x.y = b, maka gm.gn = b, atau setara dengan g²mn = b. Dapat dilihat bahwa g² adalah faktor dari b.

Oleh karena itu, g²|b.

Kedua, jika g²|b, maka (x, y) = g dan x.y = b dapat dipecahkan.

Karena g² adalah faktor dari b, maka b dapat dituliskan sebagai g²k untuk beberapa bilangan bulat k.

Kita ingin mencari x dan y yang memenuhi (x, y) = g dan x.y = b. Kita dapat memilih x = g√k dan y = g√k. Maka, (x, y) = g dan x.y = g²k = b.

Dengan demikian, kita telah membuktikan kedua bagian dari pernyataan tersebut.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa (x, y) = g dan x.y = b dapat dipecahkan jika dan hanya jika g²|b.