1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis ¹²¹ : Dari segibanyak tak beraturan ABCDE, tentukan: (i)

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis ¹²¹ : Dari segibanyak tak beraturan ABCDE, tentukan: (i) Luas (ii) Keliling
Kuis ¹²¹ : Dari segibanyak tak beraturan ABCDE, tentukan: (i) Luas (ii) Keliling

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{Luas segibanyak ABCDE}\\&=\,\boxed{\vphantom{\Bigg|}\bf\left(3+\frac{11}{4}\sqrt{3}\right)\ cm^2\,}\\&\approx\,\boxed{\vphantom{\big|}\,\bf7{,}763\ cm^2\,}\\\bullet\ &\textsf{Keliling segibanyak ABCDE}\\&=\,\boxed{\vphantom{\bigg|}\,\bf19-\sqrt{6}\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\ cm\,}\\&\approx\,\boxed{\vphantom{\big|}\,\bf17{,}329\ cm\,}\\\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk perhitungan luas dan keliling, kita persiapkan nilai sin(75°) terlebih dahulu, karena pelurus dari 105° adalah 75°.

sin(75°) = sin(30°) cos(45°) + cos(30°) sin(45°)
= ¼√2 + ¼√6
= ¼(√2 + √6)

Untuk menentukan besar beberapa sudut dan panjang ruas garis yang diperlukan, kita gunakan aturan sinus dan aturan cosinus.

Untuk besar ∠BDC:

\begin{aligned}\frac{BC}{\sin(\angle{BDC})}&=\frac{CD}{\sin(\angle{CBD})}\\\sin(\angle{BDC})&=\left(\frac{BC}{CD}\right)\sin(\angle{CBD})\\&=\left(\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)\sin(75^\circ)\\&=\left[\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{2}\right]\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)\\&=\frac{\sqrt{3}(6-2)}{8}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\angle{BDC}&=\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ \angle{BDC} < 105^{\circ}\\\angle{BDC}&=\bf60^{\circ}\end{aligned}

Oleh karena itu:

  • ∠BCD = 105° – 60° = 45°.
  • ∠BDE = 180° – 60° = 120°.

Untuk panjang BD:

\begin{aligned}\frac{BD}{\sin(\angle{BCD})}&=\frac{BC}{\sin(\angle{BDC})}\\BD&=\left[\frac{\sin(\angle{BCD})}{\sin(\angle{BDC})}\right]BC\\&=\left[\frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}\right]\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\\&=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\\&=\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\\BD&=\bf2\left(\sqrt{3}-1\right)\ cm\end{aligned}

Oleh karena itu:

  • AD = AB + BD
    ⇒ AD = 7 – 2√3 + 2(√3 – 1)
    ⇒ AD = 5 cm.

Untuk panjang DE:

\begin{aligned}AE^2&=AD^2+DE^2-2\cdot AD\cdot DE\cdot\cos(\angle{ADE})\\7^2&=5^2+DE^2-10DE\cos(120^\circ)\\49&=25+DE^2-10DE\left(-\frac{1}{2}\right)\\24&=DE^2+5DE\\0&=DE^2+5DE-24\\&=(DE-3)(DE+8)\\DE&=3\ \lor\ DE=-8\\DE&={\bf3\ cm}\quad\because DE > 0\end{aligned}

Luas Segibanyak ABCDE (Segiempat ABCE)

\begin{aligned}L_{ABCDE}&=L_{\triangle{ADE}}+L_{\triangle{BCD}}\\&=\frac{1}{2}\left[\,\begin{matrix}AD\cdot DE\cdot\sin(\angle{ADE})\\+\\BD\cdot CD\cdot\sin(\angle{BDC})\end{matrix}\,\right]\\&\quad\rightarrow \sin(\angle{ADE})=\sin(\angle{BDC})\\&\qquad\because\angle{ADE}+\angle{BDC}=180^\circ\\&=\frac{1}{2}\sin(\angle{BDC})\left(AD\cdot DE+BD\cdot CD\right)\\&=\frac{1}{2}\sin(60^\circ)\left[5\cdot3+2\cdot2\left(\sqrt{3}-1\right)\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&=\frac{1}{4}\sqrt{3}\left(15+4\sqrt{3}-4\right)\\&=\frac{1}{4}\sqrt{3}\left(11+4\sqrt{3}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(11\sqrt{3}+12\right)\\L_{ABCDE}&=\bf\left(3+\frac{11}{4}\sqrt{3}\right)\ cm^2\\L_{ABCDE}&\approx\bf7{,}763\ cm^2\\\end{aligned}

Keliling Segibanyak ABCDE (Segiempat ABCE)

\begin{aligned}K_{ABCDE}&=AB+BC+CD+DE+AE\\&=7-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+2+3+7\\&=19-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}\\&=19-\sqrt{6}\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}+1\right)\\K_{ABCDE}&=\bf19-\sqrt{6}\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\ cm\\K_{ABCDE}&\approx\bf17{,}329\ cm\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 20 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>