Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menghitung probabilitas tersebut, kita perlu menggunakan distribusi sampling distribution of the difference between the means atau distribusi sampel perbedaan rata-rata.

Kita akan menggunakan rumus z-score untuk menghitung probabilitas tersebut:

z = (x̄1 - x̄2 - μd) / (σd / √n1 + n2)

dimana:

- x̄1 = rata-rata sampel pertama

- x̄2 = rata-rata sampel kedua

- μd = selisih rata-rata populasi (μd = μ1 - μ2)

- σd = standar deviasi perbedaan populasi (σd = √(σ1²/n1 + σ2²/n2))

- n1 = ukuran sampel pertama

- n2 = ukuran sampel kedua

Dalam kasus ini, kita ingin mencari probabilitas bahwa rata-rata sampel pertama akan melampaui rata-rata sampel kedua dengan sekurang-kurangnya 3,4 tetapi kurang dari 5,9. Dengan kata lain, kita ingin mencari P(3.4 ≤ x̄1 - x̄2 < 5.9).

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Hitung selisih rata-rata populasi μd = μ1 - μ2 = 80 - 75 = 5

2. Hitung standar deviasi perbedaan populasi σd = √(σ1²/n1 + σ2²/n2) = √((5²/25) + (3²/36)) = 1.107

3. Hitung z-score menggunakan rumus di atas:

z = (x̄1 - x̄2 - μd) / (σd / √n1 + n2)

z = (3.4 - 0 - 5) / (1.107 / √(25 + 36))

z = -3.32

4. Hitung probabilitas menggunakan tabel distribusi normal standar atau kalkulator probabilitas:

P(z > -3.32) = 0.999

Jadi, probabilitas bahwa rata-rata sampel pertama akan melampaui rata-rata sampel kedua dengan sekurang-kurangnya 3,4 tetapi kurang dari 5,9 adalah sekitar 0.999 atau sekitar 99,9%.