1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis (+50 poin!) Ujian mengasah otak Buktikanlah jika . . . [tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\\\\\\rm=\frac{(a+b-c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\\\\\\=\bf\frac{(a-b-c)(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-b\sqrt{c}-c\sqrt{b})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\\\\\\=\sf\frac{(a-b+c)(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-a\sqrt{c}-c\sqrt{a})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (+50 poin!)Ujian mengasah otak
Buktikanlah jika . . .
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\\\\\\rm=\frac{(a+b-c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\\\\\\=\bf\frac{(a-b-c)(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-b\sqrt{c}-c\sqrt{b})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\\\\\\=\sf\frac{(a-b+c)(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-a\sqrt{c}-c\sqrt{a})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Ada 4 ruas persamaan, maka terdapat 3 persamaan yang perlu dibuktikan.

Persamaan Pertama

\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\&=\frac{(a+b-c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\end{aligned}

Bentuk sekawan/konjugat pertama dari √a + √b + √c adalah:
√a + √b – √c.

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\&=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\\&=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-c}\\&=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+b-c+2\sqrt{ab}}\quad...(i)\end{aligned}

Salah satu bentuk sekawan/konjugat a + b – c + 2√(ab) adalah:
(a + b – c) – 2√(ab)

\begin{aligned}&(i):\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+b-c+2\sqrt{ab}}\\&{=\ }\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(a+b-c)+2\sqrt{ab}}\times\frac{(a+b-c)-2\sqrt{ab}}{(a+b-c)-2\sqrt{ab}}\\&{=\ }\frac{(a+b-c)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)-2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}{(a+b-c)^2-4ab}\\&{=\ }\frac{(a+b-c)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)+2\sqrt{ab}\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc\right)-4ab}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{(a+b-c)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)+2\left(\sqrt{abc}-\sqrt{a^2b}-\sqrt{ab^2}\right)}{a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc}\\&{=\ }\frac{(a+b-c)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)+2\left(\sqrt{abc}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\right)}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}

⇒ Persamaan pertama terbukti!

Persamaan Kedua

\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\&=\frac{(a-b-c)(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-b\sqrt{c}-c\sqrt{b})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\end{aligned}

Bentuk sekawan/konjugat kedua dari √a + √b + √c adalah:
√a – (√b + √c) atau sama dengan √a – √b – √c.

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\&=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}\\&=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-b+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-c}\\&=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-b-c-2\sqrt{bc}}\quad...(ii)\end{aligned}

Salah satu bentuk sekawan/konjugat dari a – b – c – 2√(bc) adalah:
(a – b – c) + 2√(bc).

\begin{aligned}&(ii):\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-b-c-2\sqrt{bc}}\\&{=\ }\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-b-c-2\sqrt{bc}}\times\frac{(a-b-c)+2\sqrt{bc}}{(a-b-c)+2\sqrt{bc}}\\&{=\ }\frac{(a-b-c)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)+2\sqrt{bc}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}{(a-b-c)^2-4bc}\\&{=\ }\frac{(a-b-c)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)+2\left(\sqrt{abc}-\sqrt{b^2c}-\sqrt{bc^2}\right)}{\left(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc\right)-4bc}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{(a-b-c)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)+2\left(\sqrt{abc}-b\sqrt{c}-c\sqrt{b}\right)}{a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc}\\&{=\ }\frac{(a-b-c)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)+2\left(\sqrt{abc}-b\sqrt{c}-c\sqrt{b}\right)}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}

⇒ Persamaan kedua terbukti!

Persamaan Ketiga

\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\&=\frac{(a-b+c)(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c})+2(\sqrt{abc}-a\sqrt{c}-c\sqrt{a})}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\end{aligned}

Bentuk sekawan/konjugat ketiga dari √a + √b + √c adalah:
√a – √b + √c.

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\&=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}}\\&=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}}{a-b+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+c}\\&=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}}{a-b+c+2\sqrt{ac}}\quad...(iii)\end{aligned}

Salah satu bentuk sekawan/konjugat dari a – b + c + 2√(ac) adalah:
(a – b + c) – 2√(ac).

\begin{aligned}&(iii):\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}}{a-b+c+2\sqrt{ac}}\\&{=\ }\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(a-b+c)+2\sqrt{ac}}\times\frac{(a-b+c)-2\sqrt{ac}}{(a-b+c)-2\sqrt{ac}}\\&{=\ }\frac{(a-b+c)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-2\sqrt{ac}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{(a-b+c)^2-4ac}\\&{=\ }\frac{(a-b+c)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+2\sqrt{ac}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)}{\left(a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc\right)-4ac}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{(a-b+c)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+2\left(\sqrt{abc}-\sqrt{a^2c}-\sqrt{ac^2}\right)}{a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc}\\&{=\ }\frac{(a-b+c)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+2\left(\sqrt{abc}-a\sqrt{c}-c\sqrt{a}\right)}{a^2+b^2+c^2-2(ab+ac+bc)}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}

⇒ Persamaan ketiga terbukti!

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 15 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>