Halo kak, mohon bantuannya *Limit Trigonometri

Berikut ini adalah pertanyaan dari dheyaanaa pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Halo kak, mohon bantuannya
*Limit Trigonometri
Halo kak, mohon bantuannya *Limit Trigonometri

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

1. Hasil dari $\displaystyle{\lim_{x \to \pi} \frac{cosx+1}{(x-\pi)^2} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{2}} }$ .

2. Hasil dari $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{sin2x-1}{cos4x+1} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{-\frac{1}{4}} }$ .

PEMBAHASAN

Teorema pada limit adalah sebagai berikut :

$(i)~\lim\limits_{x \to c} f(x)=f(c)$

$(ii)~\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k\lim\limits_{x \to c} f(x)$

$(iii)~\lim\limits_{x \to c} [f(x)\pm g(x)]=\lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$

$(iv)~\lim\limits_{x \to c} [f(x)\times g(x)]=\lim\limits_{x \to c} f(x)\times\lim\limits_{x \to c} g(x)$

$\displaystyle{(v)~\lim\limits_{x \to c} \left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]=\frac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)} }$

$(vi)~\lim\limits_{x \to c} \left [ f(x) \right ]^n=\left [ \lim\limits_{x \to c} f(x) \right ]^n$

Rumus untuk limit fungsi trigonometri :

$\displaystyle{(i)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{sinax}{bx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{tanax}{bx}=\frac{a}{b} }$

$\displaystyle{(ii)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{ax}{sinbx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{ax}{tanbx}=\frac{a}{b} }$

$\displaystyle{(iii)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{sinax}{sinbx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{tanax}{tanbx}=\frac{a}{b} }$

$\displaystyle{(iv)~\lim\limits_{x \to a} \frac{sin(x-a)}{(x-a)}=\lim\limits_{x \to a} \frac{tan(x-a)}{(x-a)}=1 }$

DIKETAHUI

$\displaystyle{1.~ \lim_{x \to \pi} \frac{cosx+1}{(x-\pi)^2} }$

$\displaystyle{2.~ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{sin2x-1}{cos4x+1}= }$

DITANYA

Tentukan hasilnya.

PENYELESAIAN

Soal 1.

$\displaystyle{\lim_{x \to \pi} \frac{cosx+1}{(x-\pi)^2} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \pi} \frac{cosx+1}{(x-\pi)^2}\times\frac{cosx-1}{cosx-1} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \pi} \frac{cos^2x-1}{(x-\pi)^2(cosx-1)} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \pi} \frac{-sin^2x}{(x-\pi)^2}\times\lim_{x \to \pi} \frac{1}{(cosx-1)} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \pi} \frac{-sin^2(\pi-x)}{(x-\pi)^2}\times\frac{1}{cos\pi-1} }$

$\displaystyle{=-\lim_{x \to \pi} \frac{sin^2[-(x-\pi)]}{(x-\pi)^2}\times\frac{1}{-1-1} }$

$\displaystyle{=-\lim_{x \to \pi} \left [ \frac{-sin(x-\pi)}{x-\pi} \right ]^2\times\frac{1}{-2} }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2} \left [-\lim_{x \to \pi} \frac{sin(x-\pi)}{x-\pi} \right ]^2 }$

$---------------$

Misal :

$y=x-\pi$

Karena x → π maka y → π - π = 0

$---------------$

$\displaystyle{=\frac{1}{2} \left [-\lim_{y \to 0} \frac{siny}{y} \right ]^2 }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}(-1)^2 }$

$\displaystyle{\frac{1}{2}}$

Soal 2.

$\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{sin2x-1}{cos4x+1} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{sin2x-1}{(1-2sin^22x)+1} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{sin2x-1}{2-2sin^22x} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-(1-sin2x)}{2(1-sin^22x)} }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(1-sin2x)}{(1+sin2x)(1-sin2x)} }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+sin2x} }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\times\frac{1}{1+sin\left ( 2\times\frac{\pi}{4} \right )} }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\times\frac{1}{1+sin\frac{\pi}{2}} }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\times\frac{1}{1+1} }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4} }$

KESIMPULAN

1. Hasil dari $\displaystyle{\lim_{x \to \pi} \frac{cosx+1}{(x-\pi)^2} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{2}} }$ .

2. Hasil dari $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{sin2x-1}{cos4x+1} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{-\frac{1}{4}} }$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Limit fungsi trigonometri : yomemimo.com/tugas/41998117
Limit trigonometri : yomemimo.com/tugas/38915095
Limit trigonometri : yomemimo.com/tugas/30308496

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Limit Fungsi

Kode Kategorisasi: 11.2.8

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 25 Oct 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Halo kak, mohon bantuannya *Limit Trigonometri​