1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Hasil dari [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\int\limits^x_0 {\sqrt{1+\text{sin} t} } \,

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hasil dari \lim_{x \to 0} \frac{\int\limits^x_0 {\sqrt{1+\text{sin} t} } \, dt }{x} adalah ...A. 2√2 B. √3 C. √2 D. 1 E. 0

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int\limits_{0}^{x}{\sqrt{1+\sin t}}\,dt}{x}\ =\ \bf 1

(opsi D)

 

Pembahasan

\begin{aligned}&\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}{\sqrt{1+\sin t}}\,dt}{x}\\\\&{\quad}\left[\ \begin{aligned}&{(\sin\alpha+\cos\alpha)}^2=1+\sin2\alpha\\&\therefore\ 1+\sin t=\left(\sin\left(\tfrac{t}{2}\right)+\cos\left(\tfrac{t}{2}\right)\right)^2\end{aligned}\right.\end{aligned}

 
\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}{\sqrt{\left(\sin\left(\tfrac{t}{2}\right)+\cos\left(\tfrac{t}{2}\right)\right)^2}}\,dt}{x}\\&{=\ }\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}{\left(\sin\left(\tfrac{t}{2}\right)+\cos\left(\tfrac{t}{2}\right)\right)}dt}{x}\\\\&{\quad}\left[\ \begin{aligned}&u=\frac{t}{2}\ \Rightarrow\ t=2u\\&\rightsquigarrow dt=2du\\&\rightsquigarrow\textsf{Batas atas }\Rightarrow\ \frac{x}{2} \end{aligned}\right.\end{aligned}

 
\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x/2}{(\sin u+\cos u)}\,2du}{x}\\&{=\ }\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle2\int_{0}^{x/2}{(\sin u+\cos u)}\,du}{x}\\&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x/2}{(\sin u+\cos u)}\,du}{x}\\&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x/2}\sin u\,du+\int_{0}^{x/2}\cos u\,du}{x}\\&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{x/2}+\bigl[\sin u\bigr]_{0}^{x/2}}{x}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\left[-\cos\left(\frac{x}{2}\right)-(-\cos0)\right]+\left[\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\sin0\right]}{x}\\&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\frac{-\cos\left(\frac{x}{2}\right)+1+\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{x}\\&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\frac{1+\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{x}\\\\&{\quad}\rightsquigarrow\textsf{bentuk tak tentu, karena 0/0}\\&{\quad}\rightsquigarrow\textsf{gunakan aturan L'H\^opital}\end{aligned}

 
\begin{aligned}&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}\left(1+\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{\frac{d}{dx}x}\\&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\left(-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)}{1}\\&{=\ }2\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\cancel{2}\cdot\frac{1}{\cancel{2}}\cdot\lim_{x\to0}\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\\&{=\ }\lim_{x\to0}\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\\&{=\ }\cos\left(\frac{0}{2}\right)+\sin\left(\frac{0}{2}\right)\\&{=\ }1+0\\&{=\ }\boxed{\ \bf1\ }\\\\&\blacksquare\end{aligned}

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 04 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>