Batas nilai k agar titik (2, k) terletak di luar lingkaran x² + y² + 6x + 4y – 93 = 0 adalah k < –11 atau k > 7.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Persamaan Lingkaran dan Letak Titik Terhadap Lingkaran

Diberikan persamaan lingkaran:
x² + y² + 6x + 4y – 93 = 0

Kita akan menentukan batas nilai k agar titik (2, k) terletak di luar lingkaran tersebut.
_____________

Penyelesaian

CARA PERTAMA

Agar titik (2, k) terletak di luar lingkaran x² + y² + 6x + 4y – 93 = 0, kita ubah persamaan menjadi pertidaksamaan dengan tanda "lebih dari".

x² + y² + 6x + 4y – 93 > 0
⇒ 2² + k² + 6·2 + 4k > 93
⇒ 4 + k² + 12 + 4k > 93
⇒ k² + 4k + 4 > 93 – 12
⇒ (k + 2)² > 81
⇒ k + 2 < –√81 atau k + 2 > √81
⇒ k + 2 < –9 atau k + 2 > 9
⇒ k < –9 – 2 atau k > 9 – 2
⇒ k < –11 atau k > 7
_____________

CARA KEDUA

Kita ubah persamaan lingkaran menjadi bentuk umum (x – a)² + (y – b)² = r², sehingga kita memperoleh koordinat titik pusat dan panjang jari-jarinya.

x² + y² + 6x + 4y – 93 = 0
⇒ x² + 6x + y² + 4y = 93
⇒ x² + 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 93 + 9 + 4
⇒ (x + 3)² + (y + 2)²  = 106

Agar titik (2, k) terletak di luar lingkaran, jaraknya terhadap titik pusat lingkaran harus lebih dari panjang jari-jari lingkaran tersebut. Maka, dengan x = 2 dan y = k:

(2 + 3)² + (k + 2)²  > 106
⇒ 5² + k² + 4k + 4 > 106
⇒ k² + 4k + 4 > 106 – 5²
⇒ (k + 2)² > 106 – 25
⇒ (k + 2)² > 81
Jika dilanjutkan, kita akan memperoleh hasil yang sama dengan cara pertama di atas.
_____________

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, batas nilai kagar titik(2, k) terletak di luar lingkaran x² + y² + 6x + 4y – 93 = 0 adalah:
k < –11 atau k > 7.