Jawab:

Kita dapat membuktikan bahwa x-1/x^3 dapat ditulis kembali sebagai 1/x^2 - 1/x^3 dengan melakukan beberapa langkah manipulasi aljabar. Berikut adalah langkah-langkahnya:

1. Kita mulai dengan x-1/x^3, dan ingin mengekspresikannya sebagai penjumlahan dua pecahan:

  x-1/x^3 = A/x^2 + B/x^3

2. Kita ingin mencari nilai A dan B yang tepat. Untuk itu, kita dapat melakukan manipulasi pecahan sebagai berikut:

  x-1/x^3 = A/x^2 + B/x^3

  (x^3 - 1)/x^3 = A/x^2 + B/x^3

  x^3 - 1 = Ax + B

  x^3 - Ax - 1 = B

3. Kita perhatikan bahwa x^3 - Ax - 1 dapat ditulis kembali sebagai (x^3 - x^2) - (x^2 - Ax - 1). Dengan demikian, kita dapat mengekspresikan x-1/x^3 sebagai berikut:

  x-1/x^3 = A/x^2 + B/x^3

  x-1/x^3 = A/x^2 + (x^3 - x^2)/x^3 - (x^2 - Ax - 1)/x^3

  x-1/x^3 = (A - 1)/x^2 + (Ax + 1 - x^2)/x^3

4. Kita ingin mencari nilai A dan B yang tepat, sehingga x-1/x^3 dapat ditulis kembali sebagai 1/x^2 - 1/x^3. Dengan demikian, kita harus menyelesaikan sistem persamaan berikut:

  A - 1 = 1

  Ax + 1 - x^2 = -1

  Persamaan pertama memberikan nilai A = 2, sedangkan persamaan kedua memberikan nilai x^2 - Ax - 2 = 0, yang dapat diselesaikan dengan cara faktorisasi menjadi (x-2)(x+1) = 0. Oleh karena itu, kita dapat memilih nilai x = 2.

  Dengan nilai A = 2 dan x = 2, kita dapat menghitung nilai B sebagai berikut:

  B = x^3 - Ax - 1

  B = 2^3 - 2(2) - 1

  B = 3

  Dengan nilai A = 2 dan B = 3, kita mendapatkan bahwa:

  x-1/x^3 = (A - 1)/x^2 + (Ax + 1 - x^2)/x^3

  x-1/x^3 = (2 - 1)/x^2 + (2x + 1 - x^2)/x^3

  x-1/x^3 = 1/x^2 - 1/x^3

Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa x-1/x^3 dapat ditulis kembali sebagai 1/x^2 - 1/x^3 jika nilai x = 2. Namun, nilai x^2 sebenarnya tidak muncul secara eksplisit dalam manipulasi aljabar tersebut. Kita hanya menggunakan nilai x = 2 untuk menentukan nilai A dan B yang tepat, yang kemudian digunakan untuk mengekspresikan ulang x-1/x^3 sebagai 1/x^2 - 1/x^3.

Penjelasan dengan langkah-langkah: