1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui suatu persamaan garis 3x + y - 5 =

Berikut ini adalah pertanyaan dari apr153 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui suatu persamaan garis 3x + y - 5 = 0 dipetakan terhadap T (-3, -2) lalu dirotasikan sejauh R (O, -270°). Tentukan persamaan garis tersebut!​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui suatu persamaan garis 3x + y – 5 = 0dipetakan terhadapT(–3, –2)lalu dirotasikan sejauhR(O, –270°). Persamaan bayangannya adalah:
\boxed{\vphantom{\big|}\,\bf3y-x+6=0\,}
 

Penjelasan

Transformasi Geometri

Diketahui:

  • Persamaan garis:
    3x + y – 5 = 0
  • Transformasi terhadap garis tersebut:
    T(–3, –2)dilanjutkanR(O, –270°).

Ditanyakan:

  • Persamaan garis bayangan.

Penyelesaian

CARA PERTAMA

Transformasi I: T(–3, –2)

  • x' = x – 3  ⇔ x = x' + 3
  • y' = y – 2  ⇔ y = y' + 2

Substitusi ke dalam persamaan garis.
3x + y – 5 = 0
⇔ 3(x' + 3) + (y' + 2) – 5 = 0
⇔ 3x' + 9 + y' – 3 = 0
⇔ 3x' + y' + 6 = 0

Transformasi II: R(O, –270°)

Rotasi dengan besar sudut negatifadalahrotasi searah jarum jam.

Untuk menentukan bayangannya, mungkin akan lebih mudah untuk memahami dengan bantuan letak titik pada kuadran.

R(O, –270°) terhadap titik (x, y) pada kuadran I (x > 0, y > 0) menghasilkan titik bayangan yang dirotasikan sejauh 270° searah jarum jam terhadap pusat rotasi O(0, 0).
Titik bayangan tersebut terletak pada kuadran IV, yaitu (–y, x).

  • x'' = –y'  ⇔ y' = –x''
  • y'' = x'

Substitusi ke dalam persamaan bayangan pertama.
3x' + y' + 6 = 0
⇔ 3y'' + (–x'') + 6 = 0
⇔ 3y'' – x'' + 6 = 0

∴ Persamaan bayangan akhir:
\boxed{\vphantom{\big|}\,\bf3y-x+6=0\,}

CARA KEDUA
Dengan Matriks Transformasi

Transformasi I: T(–3, –2)

Matriks transformasi:

\begin{aligned}M_{T(a,b)}&=\binom{a}{b}\\M_{T(-3,-2)}&=\binom{-3}{-2}\end{aligned}

Translasi T(–3, –2) terhadap titik (x, y)menghasilkan bayangan(x', y'), di mana:

\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\binom{x}{y}+M_{T(-3,-2)}\\&=\binom{x}{y}+\binom{-3}{-2}\\\binom{x'}{y'}&=\binom{x-3}{y-2}\end{aligned}

Transformasi II: R(O, –270°)

Matriks transformasi:

\begin{aligned}M_{R(O,\theta)}&=\begin{pmatrix}\cos\theta &-\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}\\M_{R(O,-270^\circ)}&=\begin{pmatrix}\cos(-270^\circ) &-\sin(-270^\circ) \\ \sin(-270^\circ) &\cos(-270^\circ) \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\cos(90^\circ) &-\sin(90^\circ) \\ \sin(90^\circ) &\cos(90^\circ) \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0 &-1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}\\\end{aligned}

Rotasi R(O, –270°) terhadap titik (x', y')menghasilkan bayangan(x'', y''), di mana:

\begin{aligned}\binom{x''}{y''}&=M_{R(O,-270^{\circ})}\cdot\binom{x'}{y'}\\&=\begin{pmatrix}0 &-1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}\binom{x'}{y'}\\&=\binom{0-y'}{x'+0}\\\binom{x''}{y''}&=\binom{-y'}{x'}\end{aligned}

Substitusi dari (x', y') hasil transformasi I.

\begin{aligned}\binom{x''}{y''}&=\binom{-(y-2)}{x-3}\\\binom{x''}{y''}&=\binom{-y+2}{x-3}\\\binom{x''-2}{y''+3}&=\binom{-y}{x}\\\Rightarrow \binom{x}{y}&=\binom{y''+3}{-x''+2}\end{aligned}

Substitusi xdany ke dalam persamaan garis.

\begin{aligned}&3x + y - 5 = 0\\&\Leftrightarrow 3\left(y''+3\right)+\left(-x''+2\right)-5=0\\&\Leftrightarrow 3y''+9-x''-3=0\\&\Leftrightarrow 3y''-x''+6=0\end{aligned}

∴ Persamaan bayangan akhir:
\boxed{\vphantom{\big|}\,\bf3y-x+6=0\,}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 25 May 23
<< Previous Post
Next Post >>