1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

tolong yang bisa tentukan persamaan garis singgung lingkaran x²+y²=8 dititik

Berikut ini adalah pertanyaan dari nadirap946 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong yang bisatentukan persamaan garis singgung lingkaran x²+y²=8 dititik (-3,1)​​​
Menggunakan rumus : x1.x+y1.y=r²​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

\displaystyle y=-7x-20dan\displaystyle y=x+4

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Cek kedudkan titik terhadap lingkaran

• Jika K < r² titik di dalam lingkaran

• Jika K = r² titik pada lingkaran

• Jika K > r² titik di luar lingkaran

(-3)² + 1² = 10, 10 > 8 titik di luar lingkaran

Penanya meminta metode garis polar

\begin{aligned}x_1x+y_1y&\:=r^2\\-3x+y\:&=8\\y\:&=3x+8\leftarrow \rm{garis~polar}\end{aligned}

Substitusi ke persamaan lingkaran untuk memperoleh kedua titik singgung ny

\begin{aligned}x^2+y^2&\:=8\\x^2+(3x+8)^2\:&=8\\x^2+9x^2+48x+64-8\:&=0\\10x^2+48x+56\:&=0\\5x^2+24x+28\:&=0\\(5x+14)(x+2)\:&=0\\x_2=-\frac{14}{5}~\vee~x_3=-2\end{aligned}

Substitusi ke garis polar

\displaystyle \begin{matrix}y_2=3\left ( -\frac{14}{5} \right )+8=-\frac{2}{5} & y_3=3(-2)+8=2\end{matrix}

Diperoleh kedua titik singgung nya \displaystyle \left ( -\frac{14}{5},-\frac{2}{5} \right )dan\displaystyle (-2,2)

Persaman garis singgung nya

\displaystyle \begin{matrix}x_2x+y_2y=r^2 & x_3x+y_3y=r^2\\ -\frac{14}{5}x-\frac{2}{5}y=8 & -2x+2y=8\\ 14x+2y=-40 & x-y=-4\\ 7x+y=-20 & -y=-x-4\\ y=-7x-20 & y=x+4\end{matrix}

Bagaimana bisa dalam hal ini persamaan \displaystyle x_1x+y_1y=r^2 merupakan garis polar?

Diketahui bahwa persamaan yang melalui kedua titik singgung nya adalah \displaystyle x_2x+y_2y=r^2dan\displaystyle x_3x+y_3y=r^2. Karena kedua nya sama-sama melalui titik \displaystyle (x_1,y_1)persamaan nya dapat ditulis\displaystyle x_2x_1+y_2y_1=r^2dan\displaystyle x_3x_1+y_3y_1=r^2. Eliminasi \displaystyle r^2

\begin{array}{c}x_3x_1+y_3y_1=r^2\\x_2x_1+y_2y_1=r^2\\\cline{1-1}(x_3-x_2)x_1+(y_3-y_2)y_1=0\end{array}

\begin{aligned}(x_3-x_2)x_1&\:=-(y_3-y_2)y_1\\-\frac{x_1}{y_1}\:&=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}\end{aligned}

Gradien garis polar yang melalui titik \displaystyle (x_2,y_2)dan\displaystyle (x_3,y_3)adalah\displaystyle \frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}dan ternyata sama dengan gradien garis yang melalui titik\displaystyle (x_1,y_1). Maka persamaan garis polar nya

\begin{aligned}y-y_1&\:=m(x-x_1)\\y-y_1\:&=-\frac{x_1}{y_1}(x-x_1)\\y_1y-y_1^2\:&=-x_1x+x_1^2\\x_1x+y_1y\:&=x_1^2+y_1^2\\x_1x+y_1y\:&=r^2\end{aligned}

Jawab:[tex]\displaystyle y=-7x-20[/tex] dan [tex]\displaystyle y=x+4[/tex]Penjelasan dengan langkah-langkah:Cek kedudkan titik terhadap lingkaran• Jika K < r² titik di dalam lingkaran• Jika K = r² titik pada lingkaran• Jika K > r² titik di luar lingkaran(-3)² + 1² = 10, 10 > 8 titik di luar lingkaranPenanya meminta metode garis polar[tex]\begin{aligned}x_1x+y_1y&\:=r^2\\-3x+y\:&=8\\y\:&=3x+8\leftarrow \rm{garis~polar}\end{aligned}[/tex]Substitusi ke persamaan lingkaran untuk memperoleh kedua titik singgung ny[tex]\begin{aligned}x^2+y^2&\:=8\\x^2+(3x+8)^2\:&=8\\x^2+9x^2+48x+64-8\:&=0\\10x^2+48x+56\:&=0\\5x^2+24x+28\:&=0\\(5x+14)(x+2)\:&=0\\x_2=-\frac{14}{5}~\vee~x_3=-2\end{aligned}[/tex]Substitusi ke garis polar[tex]\displaystyle \begin{matrix}y_2=3\left ( -\frac{14}{5} \right )+8=-\frac{2}{5} & y_3=3(-2)+8=2\end{matrix}[/tex]Diperoleh kedua titik singgung nya [tex]\displaystyle \left ( -\frac{14}{5},-\frac{2}{5} \right )[/tex] dan [tex]\displaystyle (-2,2)[/tex]Persaman garis singgung nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}x_2x+y_2y=r^2 & x_3x+y_3y=r^2\\ -\frac{14}{5}x-\frac{2}{5}y=8 & -2x+2y=8\\ 14x+2y=-40 & x-y=-4\\ 7x+y=-20 & -y=-x-4\\ y=-7x-20 & y=x+4\end{matrix}[/tex]Bagaimana bisa dalam hal ini persamaan [tex]\displaystyle x_1x+y_1y=r^2[/tex] merupakan garis polar?Diketahui bahwa persamaan yang melalui kedua titik singgung nya adalah [tex]\displaystyle x_2x+y_2y=r^2[/tex] dan [tex]\displaystyle x_3x+y_3y=r^2[/tex]. Karena kedua nya sama-sama melalui titik [tex]\displaystyle (x_1,y_1)[/tex] persamaan nya dapat ditulis [tex]\displaystyle x_2x_1+y_2y_1=r^2[/tex] dan [tex]\displaystyle x_3x_1+y_3y_1=r^2[/tex]. Eliminasi [tex]\displaystyle r^2[/tex][tex]\begin{array}{c}x_3x_1+y_3y_1=r^2\\x_2x_1+y_2y_1=r^2\\\cline{1-1}(x_3-x_2)x_1+(y_3-y_2)y_1=0\end{array}[/tex][tex]\begin{aligned}(x_3-x_2)x_1&\:=-(y_3-y_2)y_1\\-\frac{x_1}{y_1}\:&=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}\end{aligned}[/tex]Gradien garis polar yang melalui titik [tex]\displaystyle (x_2,y_2)[/tex] dan [tex]\displaystyle (x_3,y_3)[/tex] adalah [tex]\displaystyle \frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}[/tex] dan ternyata sama dengan gradien garis yang melalui titik [tex]\displaystyle (x_1,y_1)[/tex]. Maka persamaan garis polar nya[tex]\begin{aligned}y-y_1&\:=m(x-x_1)\\y-y_1\:&=-\frac{x_1}{y_1}(x-x_1)\\y_1y-y_1^2\:&=-x_1x+x_1^2\\x_1x+y_1y\:&=x_1^2+y_1^2\\x_1x+y_1y\:&=r^2\end{aligned}[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh peesbedrf dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 07 Jul 23
<< Previous Post
Next Post >>