Luas daerah yang diarsir pada gambar grafik dibawah in

Berikut ini adalah pertanyaan dari rendi1707 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luas daerah arsir antara fungsi $y=x^2-25$ dan $y=2x-17$ adalah36 satuan luas.

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut

$\int {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C~~~~~,dengan~C=konstanta\\\\\int {kf(x)} \, dx=k\int {f(x)} \, dx\\\\\int {[f(x)+g(x)]} \, dx=\int {f(x)} \, dx+\int {g(x)} \, dx\\\\\int {[f(x)-g(x)]} \, dx=\int {f(x)} \, dx-\int {g(x)} \, dx$

Untuk integral tentu dengan batas tepi a dan b berlaku :

$\int\limits^b_a {f(x)} \, dx=F(b)-F(a)$

Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung luas daerah di bawah kurva f(x).

$L=\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

Dengan a dan b merupakan batas tepi yang mau dicari luasnya.

Untuk luas daerah yang dibatasi oleh 2 kurva dapat dicari dengan rumus :

$L=\int\limits^b_a {[f(x)-g(x)]} \, dx$

DIKETAHUI

Suatu daerah arsir dibatasi oleh fungsi $y=x^2-25$ dan $y=2x-17$ .

DITANYA

Tentukan luas daerah arsir tersebut.

PENYELESAIAN

Dari gambar diperoleh bahwa kedua kurva berpotongan di titik x = -2 dan x = 4. Titik ini yang akan menjadi batas batas integral untuk mencari luas daerahnya.

> Mencari luas dengan integral

$L=\int\limits^4_{-2} {[y_2-y_1]} \, dx\\\\L=\int\limits^4_{-2} {[2x-17-(x^2-25)]} \, dx\\\\L=\int\limits^4_{-2} {[-x^2+2x+8]} \, dx\\\\L=-\frac{1}{3}x^3+x^2+8x|^4_{-2}\\\\L=-\frac{1}{3}(4)^3+(4)^2+8(4)-[-\frac{1}{3}(-2)^3+(-2)^2+8(-2)]\\\\L=\frac{80}{3}+\frac{28}{3}\\\\L=36 ~satuan~luas$

> Mencari luas dengan rumus $\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

Untuk mencari luas daerah tertutup antara kurva parabola dan garis dapat juga dicari dengan menggunakan rumus langsung.

$y_1=y_2\\\\2x-17=x^2-25\\\\x^2-2x-8=0\\\\diperoleh~:\\\\a=1\\\\b=-2\\\\c=-8\\\\D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-8)=36\\\\\\maka~luasnya~:\\\\L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}\\\\L=\frac{36\sqrt{36}}{6(1)^2}\\\\L=\frac{36\times6}{6}\\\\L=36~satuan~luas$ .