1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=100 yang melalui titik

Berikut ini adalah pertanyaan dari Rdiana11 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=100 yang melalui titik (-2,14) adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x^{2} + y^{2} = 100 yang melalui titik (-2, 14) adalah   4y = 3x \pm 50 \ atau \ 3y = 4x \pm 50 .

Pendahuluan

Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang salah satu titiknya berada pada garis di lingkaran tersebut. Untuk menentukan garis singgung suatu lingkaran, kita dapat menggunakan rumus: \boxed{ y - b = m(x - a) \pm r \sqrt{m^{2} + 1}}

Sedangkan bentuk umum persamaan lingkaranadalah \boxed{(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}}

Keterangan:

  • (a, b) = titik pusat
  • r = jari-jari
  • m = gradien garis singgung

Untuk menentukan posisi suatu titik terhadap lingkaran, kita dapat mensubtitusikan titik ke dalam persamaan lingkaran. Akan diperoleh:

  1. (x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}, jika titik di luar lingkaran.
  2. (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}, jika titik pada lingkaran.
  3. (x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}, jika titik di dalam lingkaran.

Dari penjelasan tersebut, mari kita selesaikan permasalahan di atas!

Pembahasan

Diketahui:

  • Persamaan lingkaran: x^{2} + y^{2} = 100
  • Melalui titik (-2, 14)  

Ditanyakan:

Persamaan Garis Singgung

Jawab:

1. Tentukan posisi titik terhadap lingkaran.

Untuk mengetahui posisi titik, kita dapat mensubtitusikan titik ke persamaan lingkaran.

(-2)^{2} + (14)^{2} \ ... \ 100 \\ 4 + 196 \ ... \ 100 \\ 200 > 100

Karena diperoleh (x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}, maka titik (-2, 14) berada di luar lingkaran.

2. Tentukan titik pusat dan jari-jari pada lingkaran.

Karena persamaan umum lingkaran adalah (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}, dengan (a, b) sebagai titik pusat dan r sebagai jari-jari. Maka, x^{2} + y^{2} = 100 memiliki:

  • Titik Pusat = (0, 0)
  • Jari-jari = \sqrt{100} = 10

3. Tentukan gradien garis singgung tersebut.

Kita dapat mensubtitusikan titik pusat, jari-jari, dan titik yang dilalui ke dalam rumus untuk mencari gradien.

y - b = m(x - a) \pm r \sqrt{m^{2} + 1} \\ 14 - 0 = m (-2 - 0) \pm 10 \sqrt{m^{2} + 1} \\ 14 = -2m \pm 10 \sqrt{m^{2} + 1} \\ 14 + 2m = \pm 10 \sqrt{m^{2} + 1} \\ (14 + 2m)^{2} = (\pm 10 \sqrt{m^{2} + 1})^{2} \\ 196 + 56m + 4m^{2} = 100 (m^{2} + 1) \\ 196 + 56m + 4m^{2} = 100m^{2} + 100 \\ 0 = 96m^{2} - 56m^{2} - 96 \\ 0 = 12m^{2} - 7m - 12 \\ 0 = 12m^{2} - 16m + 9m - 12 \\ 0 = 4m(3m - 4) - 3(3m - 4) \\ 0 = (4m - 3)(3m - 4) \\ m = \frac{3}{4} \ atau \ m = \frac{4}{3}

Jadi, gradien garis singgung adalah \frac{3}{4} \ atau \ \frac{4}{3}.

4. Tentukan persamaan singgung lingkaran.

  • Untuk m = \frac{3}{4}:

y - b = m (x - a) \pm r \sqrt{m^{2} + 1} \\ y - 0 = \frac{3}{4} (x - 0) \pm 10 \sqrt{(\frac{3}{4})^{2} + 1} \\ 4y = 3x \pm 40 \sqrt{\frac{9}{16} + 1} \\ 4y = 3x \pm 40 \sqrt{\frac{25}{16}} \\ 4y = 3x \pm 40 (\frac{5}{4}) \\ 4y = 3x \pm 50

  • Untuk m = \frac{4}{3}:

y - b = m (x - a) \pm r \sqrt{m^{2} + 1} \\ y - 0 = \frac{4}{3} (x - 0) \pm 10 \sqrt{(\frac{4}{3})^{2} + 1} \\ 3y = 4x \pm 30 \sqrt{\frac{16}{9} + 1} \\ 3y = 4x \pm 30 \sqrt{\frac{25}{9}} \\ 3y = 4x \pm 30 (\frac{5}{3}) \\ 3y = 4x \pm 50

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 4y = 3x \pm 50 \ atau \ 3y = 4x \pm 50

Pelajari lebih lanjut,

  1. Materi tentang menentukan persamaan garis singgung yang menyinggung suatu lingkaran: yomemimo.com/tugas/24929752
  2. Materi tentang menentukan suatu persamaan lingkaran: yomemimo.com/tugas/14293114
  3. Materi tentang menentukan titik pusat dan diameter suatu lingkaran: yomemimo.com/tugas/18730177

__________________________________________________

DETAIL JAWABAN

Kelas: 11

Mapel: Matematika

Bab: 4.1 - Lingkaran

Kode: 11.2.4.1

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh hanifchoirunnisa dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 13 Jun 18
<< Previous Post
Next Post >>