1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

volume air yg dapat ditAmpung pada ember adalah...cm​

Berikut ini adalah pertanyaan dari diniekaaa11 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Volume air yg dapat ditAmpung pada ember adalah...cm​
volume air yg dapat ditAmpung pada ember adalah...cm​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Volume air yang dapat ditampung pada ember adalah:
\boxed{\vphantom{\Big|}\,\bf30.336\pi\ cm^2\,}
 

Penjelasan

Ember berbentuk kerucut terpancung, dengan:

  • Diameter lingkaran atas = 84 cm.
    ⇔ R = 42 cm.
  • Diameter lingkaran bawah = 36 cm.
    ⇔ r = 18 cm.
  • Panjang garis pelukis ember = 40 cm.
    ⇔ S = 40 cm.

Banyak air yang dapat ditampung ember tersebut sama dengan volume kerucut terpancung, yaitu selisih dari volume kerucut penuh (yang belum terpancung) dan volume kerucut yang dihilangkan.

\begin{aligned}V_{\sf ember}&=V_{\sf kerucut\:penuh}-V_{\sf kerucut\:hilang}\\&=\frac{1}{3}\pi R^2\left(T+t\right)-\frac{1}{3}\pi r^2t\\&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2\left(T+t\right)-r^2t\right]\\&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+\left(R^2-r^2\right)t\right]\\V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+(R+r)(R-r)t\right]\end{aligned}

Silahkan perhatikan gambar penampang 2 dimensi dari ember (dipandang dari samping) dalam bentuk segitiga pada gambar lampiran.

  • t menyatakan tinggi kerucut yang hilang, sehingga tinggi kerucut penuh = T+t.
  • s menyatakan panjang garis pelukis kerucut yang hilang, sehingga panjang garis pelukis kerucut penuh = S+s.

Berdasarkan prinsip kesebangunan, diperoleh:

\begin{aligned}\frac{R}{r}&=\frac{T+t}{t}\\Rt&=rT+rt\\(R-r)t&=rT\\\frac{T}{t}&=\frac{R-r}{r}\\\vphantom{\Bigg|}\Rightarrow t&=\frac{rT}{R-r}\end{aligned}

Kita substitusikan ke dalam persamaan/rumus volume ember.

\begin{aligned}V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+(R+r)(R-r)t\right]\\&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+(R+r)\cancel{(R-r)}\cdot\frac{rT}{\cancel{R-r}}\right]\\&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+(R+r)rT\right]\\V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi T\left(R^2+Rr+r^2\right)\end{aligned}

Serupa dengan perbandingan (i), untuk panjang garis pelukisnya, berlaku:

\begin{aligned}\frac{S}{s}&=\frac{R-r}{r}\end{aligned}

Sehingga, dengan teorema Pythagoras pada bagian kerucut yang hilang, kita peroleh:

\begin{aligned}t^2&=s^2-r^2\\\left(\frac{r}{R-r}\cdot T\right)^2&=\left(\frac{r}{R-r}\cdot S\right)^2-r^2\\\left(\frac{r}{R-r}\right)^2T^2&=\left(\frac{r}{R-r}\right)^2S^2-r^2\\T^2&=S^2-\frac{r^2}{\left(\dfrac{r}{R-r}\right)^2}\\&=S^2-r^2\cdot\left(\frac{R-r}{r}\right)^2\\T^2&=S^2-(R-r)^2\\T&=\sqrt{S^2-(R-r)^2}\end{aligned}

Substitusikan ke dalam persamaan volume ember, kita akan memperoleh rumus akhir dari volume ember.

\begin{aligned}V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi T\left(R^2+Rr+r^2\right)\\V_{\sf ember}&=\boxed{\frac{1}{3}\pi\left(R^2+Rr+r^2\right)\sqrt{S^2-(R-r)^2}}\\\end{aligned}

Terakhir, kita substitusi nilai-nilainya sesuai yang diketahui.

\begin{aligned}V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi\left(R^2+Rr+r^2\right)\sqrt{S^2-(R-r)^2}\\&=\frac{1}{3}\pi\left(42^2+42\cdot18+18^2\right)\sqrt{40^2-(42-18)^2}\\&=\frac{1}{3}\pi\left(42(42+18)+324\right)\sqrt{40^2-24^2}\\&=\frac{1}{3}\pi\left(42\cdot60+324\right)\sqrt{(40+24)(40-24)}\\&=\frac{1}{3}\pi\left(2.520+324\right)\sqrt{64\cdot16}\\&=\frac{1}{3}\pi\cdot2.844\cdot8\cdot4\\&=\pi\cdot948\cdot32\\V_{\sf ember}&=\boxed{\,\bf30.336\pi\ cm^2\,}\end{aligned}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Volume air yang dapat ditampung pada ember adalah:[tex]\boxed{\vphantom{\Big|}\,\bf30.336\pi\ cm^2\,}[/tex] PenjelasanEmber berbentuk kerucut terpancung, dengan:Diameter lingkaran atas = 84 cm.⇔ [tex]R[/tex] = 42 cm.Diameter lingkaran bawah = 36 cm.⇔ [tex]r[/tex] = 18 cm.Panjang garis pelukis ember = 40 cm.⇔ [tex]S[/tex] = 40 cm.Banyak air yang dapat ditampung ember tersebut sama dengan volume kerucut terpancung, yaitu selisih dari volume kerucut penuh (yang belum terpancung) dan volume kerucut yang dihilangkan.[tex]\begin{aligned}V_{\sf ember}&=V_{\sf kerucut\:penuh}-V_{\sf kerucut\:hilang}\\&=\frac{1}{3}\pi R^2\left(T+t\right)-\frac{1}{3}\pi r^2t\\&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2\left(T+t\right)-r^2t\right]\\&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+\left(R^2-r^2\right)t\right]\\V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+(R+r)(R-r)t\right]\end{aligned}[/tex]Silahkan perhatikan gambar penampang 2 dimensi dari ember (dipandang dari samping) dalam bentuk segitiga pada gambar lampiran.[tex]t[/tex] menyatakan tinggi kerucut yang hilang, sehingga tinggi kerucut penuh = [tex]T+t[/tex].[tex]s[/tex] menyatakan panjang garis pelukis kerucut yang hilang, sehingga panjang garis pelukis kerucut penuh = [tex]S+s[/tex].Berdasarkan prinsip kesebangunan, diperoleh:[tex]\begin{aligned}\frac{R}{r}&=\frac{T+t}{t}\\Rt&=rT+rt\\(R-r)t&=rT\\\frac{T}{t}&=\frac{R-r}{r}\\\vphantom{\Bigg|}\Rightarrow t&=\frac{rT}{R-r}\end{aligned}[/tex]Kita substitusikan ke dalam persamaan/rumus volume ember.[tex]\begin{aligned}V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+(R+r)(R-r)t\right]\\&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+(R+r)\cancel{(R-r)}\cdot\frac{rT}{\cancel{R-r}}\right]\\&=\frac{1}{3}\pi\left[R^2T+(R+r)rT\right]\\V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi T\left(R^2+Rr+r^2\right)\end{aligned}[/tex]Serupa dengan perbandingan (i), untuk panjang garis pelukisnya, berlaku:[tex]\begin{aligned}\frac{S}{s}&=\frac{R-r}{r}\end{aligned}[/tex]Sehingga, dengan teorema Pythagoras pada bagian kerucut yang hilang, kita peroleh:[tex]\begin{aligned}t^2&=s^2-r^2\\\left(\frac{r}{R-r}\cdot T\right)^2&=\left(\frac{r}{R-r}\cdot S\right)^2-r^2\\\left(\frac{r}{R-r}\right)^2T^2&=\left(\frac{r}{R-r}\right)^2S^2-r^2\\T^2&=S^2-\frac{r^2}{\left(\dfrac{r}{R-r}\right)^2}\\&=S^2-r^2\cdot\left(\frac{R-r}{r}\right)^2\\T^2&=S^2-(R-r)^2\\T&=\sqrt{S^2-(R-r)^2}\end{aligned}[/tex]Substitusikan ke dalam persamaan volume ember, kita akan memperoleh rumus akhir dari volume ember.[tex]\begin{aligned}V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi T\left(R^2+Rr+r^2\right)\\V_{\sf ember}&=\boxed{\frac{1}{3}\pi\left(R^2+Rr+r^2\right)\sqrt{S^2-(R-r)^2}}\\\end{aligned}[/tex]Terakhir, kita substitusi nilai-nilainya sesuai yang diketahui.[tex]\begin{aligned}V_{\sf ember}&=\frac{1}{3}\pi\left(R^2+Rr+r^2\right)\sqrt{S^2-(R-r)^2}\\&=\frac{1}{3}\pi\left(42^2+42\cdot18+18^2\right)\sqrt{40^2-(42-18)^2}\\&=\frac{1}{3}\pi\left(42(42+18)+324\right)\sqrt{40^2-24^2}\\&=\frac{1}{3}\pi\left(42\cdot60+324\right)\sqrt{(40+24)(40-24)}\\&=\frac{1}{3}\pi\left(2.520+324\right)\sqrt{64\cdot16}\\&=\frac{1}{3}\pi\cdot2.844\cdot8\cdot4\\&=\pi\cdot948\cdot32\\V_{\sf ember}&=\boxed{\,\bf30.336\pi\ cm^2\,}\end{aligned}[/tex]  [tex]\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 29 May 23
<< Previous Post
Next Post >>