Jawab:

(a, -2a)

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan titik-titik pada kurva x² + xy + y² = 7 yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu y, kita perlu menggunakan konsep turunan dan persamaan garis singgung.

Pertama-tama, kita perlu mencari turunan dari persamaan kurva tersebut. Untuk itu, kita perlu menggunakan aturan rantai dan turunan implisit. Dengan menetapkan y sebagai fungsi dari x, kita dapat menurunkan kedua sisi persamaan terhadap x:

d/dx(x² + xy + y²) = d/dx(7)

2x + x(dy/dx) + y + y(dy/dx) = 0

x(dy/dx) + y(dy/dx) = -2x - y

dy/dx = (-2x - y) / (x + y)

Sekarang, kita bisa mencari persamaan garis singgung pada titik (a,b) dengan mengganti x dan y dengan a dan b:

dy/dx = (-2a - b) / (a + b)

Kita tahu bahwa garis singgungnya harus sejajar dengan sumbu y, sehingga gradiennya harus nol. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan persamaan di atas untuk a dan b, dengan mengganti dy/dx dengan 0:

(-2a - b) / (a + b) = 0

-2a - b = 0

b = -2a

Kita juga perlu memastikan bahwa titik (a,b) ada pada kurva x² + xy + y² = 7. Oleh karena itu, kita dapat mengganti y dengan -2a pada persamaan tersebut:

x² + x(-2a) + (-2a)² = 7

x² - 2ax + 4a² - 7 = 0

Persamaan ini adalah persamaan kuadratik dalam x, dan dapat dipecahkan dengan menggunakan rumus kuadratik:

x = (2a ± sqrt(28 - 3a²)) / 2

x = a ± sqrt(7 - (3/4)a²)

Jadi, titik-titik pada kurva x² + xy + y² = 7 yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu y adalah (a, -2a) di mana a adalah solusi dari persamaan di atas.