3. Untuk mencari akar persamaan 3x - 3x² = 0 dengan menggunakan metode setengah interval (biseksi) dalam selang [0,2] dan batas toleransi 0,20, berikut adalah langkah-langkahnya:

Langkah 1: Tentukan batas awal selang [a, b]. Dalam kasus ini, a = 0 dan b = 2.

Langkah 2: Hitung nilai fungsi pada titik tengah selang, c = (a + b) / 2.

f(c) = 3c - 3c²

Langkah 3: Periksa kondisi berhenti. Jika |f(c)| < toleransi yang ditentukan, maka c adalah akar yang diinginkan. Jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.

Langkah 4: Tentukan selang baru berdasarkan tanda fungsi pada c. Jika f(c) memiliki tanda yang sama dengan f(a), maka selang baru adalah [c, b]. Jika tanda f(c) sama dengan f(b), maka selang baru adalah [a, c].

Langkah 5: Ulangi langkah 2 hingga langkah 4 dengan selang baru yang ditentukan hingga mencapai batas toleransi.

Berikut adalah beberapa langkah perkiraan yang dilakukan dalam metode biseksi:

Langkah 1: a = 0, b = 2

Langkah 2: c = (0 + 2) / 2 = 1

f(1) = 3(1) - 3(1)² = 0

Langkah 3: Karena f(1) = 0, maka c = 1 adalah akar persamaan.

Langkah 4: Selesai.

Jadi, akar persamaan 3x - 3x² = 0 dalam selang [0,2] dengan batas toleransi 0,20 adalah x = 1.

4. Untuk mencari akar persamaan tak linear x³ - 2x - 5 menggunakan metode Newton-Raphson dengan nilai awal x₁ = 1, toleransi galat relatif 0.01, dan ketelitian hingga 3 desimal, berikut adalah langkah-langkahnya:

Langkah 1: Tentukan persamaan fungsi:

f(x) = x³ - 2x - 5

Langkah 2: Turunkan fungsi tersebut untuk mendapatkan turunan f'(x):

f'(x) = 3x² - 2

Langkah 3: Mulai dengan nilai awal x₁ = 1.

Langkah 4: Hitung nilai fungsi dan turunannya pada x₁:

f(x₁) = (1)³ - 2(1) - 5 = -6

f'(x₁) = 3(1)² - 2 = 1

Langkah 5: Hitung x₂ dengan menggunakan rumus iterasi Newton-Raphson:

x₂ = x₁ - (f(x₁) / f'(x₁))

x₂ = 1 - (-6 / 1) = 7

Langkah 6: Periksa kondisi berhenti. Jika |(x₂ - x₁) / x₂| < toleransi yang ditentukan, maka x₂ adalah akar yang diinginkan dengan ketelitian yang mencukupi. Jika tidak,

lanjutkan ke langkah berikutnya.

Langkah 7: Set x₁ = x₂ dan ulangi langkah 4 hingga langkah 6 dengan x₁ baru hingga mencapai batas toleransi.

Berikut adalah beberapa langkah perkiraan yang dilakukan dalam metode Newton-Raphson:

Langkah 1: x₁ = 1

Langkah 2: f(x₁) = -6, f'(x₁) = 1

Langkah 3: x₂ = 7

Langkah 4: |(7 - 1) / 7| = 0.857 > 0.01 (toleransi)

Kembali ke langkah 4 dengan x₁ = 7

Langkah 5: f(x₁) = 322, f'(x₁) = 147

Langkah 6: x₂ ≈ 6.188

Langkah 7: |(6.188 - 7) / 6.188| ≈ 0.116 > 0.01 (toleransi)

Kembali ke langkah 4 dengan x₁ ≈ 6.188

Langkah 5: f(x₁) ≈ 1.414, f'(x₁) ≈ 111.819

Langkah 6: x₂ ≈ 6.066

Langkah 7: |(6.066 - 6.188) / 6.066| ≈ 0.02 < 0.01 (toleransi)

Jadi, dengan menggunakan metode Newton-Raphson, salah satu akar persamaan tak linear x³ - 2x - 5 dengan nilai awal x₁ = 1, toleransi galat relatif 0.01, dan ketelitian hingga 3 desimal adalah x ≈ 6.066.