carilah solusi dari persamaan diferensial berikut :

Berikut ini adalah pertanyaan dari korokoro2208 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Carilah solusi dari persamaan diferensial berikut :

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

$\begin{aligned}y(x) = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{-4x} + \frac{x}{6} + \frac{29}{72}\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}y(x) = c_1 \exp(-\frac{5}{2}x) \cos{\frac{\sqrt{23}}{2}x} + c_2 \exp(-\frac{5}{2}x) \sin{\frac{\sqrt{23}}{2}x} + \frac{1}{2}\\\end{aligned}$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kedua persamaan diferensial merupakan non-homogen atau sederhananya sisi kanan persamaan bukan nol. Untuk mencari solusi non-homogen diperlukan solusi homogen dan solusi khusus untuk persamaan tersebut.

Subsoal a

Asumsikan fungsi y seperti berikut

$y(x) = e^{rx}$

Ubah persamaan diferensial awal ke homogen (nol-kan sisi kanan) dan subtitusikan untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen

$\begin{aligned}y'' + 7y' + 12y &= 0\\(e^{rt})'' + 7(e^{rt})' + 12e^{rt} & = 0\\e^{rt}r^2 + e^{rt}7r + e^{rt}12 & = 0\\e^{rt} (r^2 + 7r + 12) & = 0\\r^2 + 7r + 12 & = 0\\r_{1, 2} & = \frac{-7 \pm \sqrt{49-48}}{2}\\r_{1, 2} & = -3.5 \pm 0.5\end{aligned}$

Karena solusi persamaan karakteristik bernilai real, maka solusi persamaan diferensial akan berbentuk

$\begin{aligned}\\y(x) = c_1 e^{r_1x} + c_2 e^{r_2x} + y_p(x)\end{aligned}$

Untuk mencari solusi khusus (atau particular solution) $y_p$ , amati bahwa sisi kanan hanya merupakan polinomial sederhana, sehingga asumsikan fungsi y seperti berikut

$\begin{aligned}\\y_p & = ax + b\\y(x) & = e^{rx} + y_p\\y(x) & = e^{rx} + ax + b\end{aligned}$

Subtitusikan kembali ke persamaan awal, tetapi karena $e^{rx}$ telah diselesaikan pada persamaan homogen, abaikan suku tersebut

$\begin{aligned}\\(ax + b)'' + 7(ax + b)' + 12(ax + b) & = 6 + 2x\\7a + 12ax + 12b & = 2x + 6\\12ax + (7a + 12b) & = 2x + 6\end{aligned}$

Didapatkan dua persamaan untuk mencari nilai a dan b

$\begin{aligned}\\12a & = 2\\a & = \frac{1}{6}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\\7a + 12b & = 6\\b & = \frac{1}{12} (6 - \frac{7}{6})\\b & = \frac{29}{72}\end{aligned}$

Maka subtitusikan kembali ke solusi persamaan non-homogen untuk mendapatkan solusi akhir

$\begin{aligned}y(x) = c_a e^{-3x} + c_2 e^{-4x} + \frac{x}{6} + \frac{29}{72}\end{aligned}$

Subsoal b

Mirip seperti sebelumnya, cari r atau solusi dari persamaan karakterisik

$\begin{aligned}\\r^2 + 5r + 12 &= 0\\r_{1, 2} & = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2}\\r_{1, 2} & = \frac{-5 \pm \sqrt{23}i}{2}\\r_{1, 2} & = -\frac{5}{2}\pm \frac{\sqrt{23}}{2}i\\\end{aligned}$

Namun kali ini solusi persamaan karakteristik merupakan akar kompleks, maka solusi untuk persamaan adalah

$\begin{aligned}\\y(x) = c_1 e^{\lambda x} \cos (\mu x) + c_2 e^{\lambda x} \sin (\mu x) + y_p(x)\end{aligned}$

Dengan

$r_{1,2} = \lambda \pm \mu i$

Dengan menggunakan teknik yang sama untuk mencari particular solution, didapatkan fungsi $y_p$

$\begin{aligned}\\(a)'' + 5(a)' + 12(a) & = 6\\0 + 0 + 12a &= 6\\a &= \frac{1}{2}\end{aligned}$

Maka subtitusikan kembali untuk mendapatkan solusi akhir

$\begin{aligned}\\y(x) & = c_1 e^{\lambda x} \cos (\mu x) + c_2 e^{\lambda x} \sin (\mu x) + y_p(x)\\y(x) & = c_1 e^{-\frac{5}{2}x} \cos (\frac{\sqrt{23}}{2}x) + c_2 e^{-\frac{5}{2}x} \sin (\frac{\sqrt{23}}{2}x) + \frac{1}{2}\end{aligned}$

Terlampir solusi akhir dari hasil render latex

$Jawab:a. [tex]\begin{aligned}y(x) = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{-4x} + \frac{x}{6} + \frac{29}{72}\\\end{aligned}[/tex]b.[tex]\begin{aligned}y(x) = c_1 \exp(-\frac{5}{2}x) \cos{\frac{\sqrt{23}}{2}x} + c_2 \exp(-\frac{5}{2}x) \sin{\frac{\sqrt{23}}{2}x} + \frac{1}{2}\\\end{aligned}[/tex]Penjelasan dengan langkah-langkah:Kedua persamaan diferensial merupakan non-homogen atau sederhananya sisi kanan persamaan bukan nol. Untuk mencari solusi non-homogen diperlukan solusi homogen dan solusi khusus untuk persamaan tersebut.Subsoal aAsumsikan fungsi y seperti berikut[tex]y(x) = e^{rx}[/tex]Ubah persamaan diferensial awal ke homogen (nol-kan sisi kanan) dan subtitusikan untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen[tex]\begin{aligned}y'' + 7y' + 12y &= 0\\(e^{rt})'' + 7(e^{rt})' + 12e^{rt} & = 0\\e^{rt}r^2 + e^{rt}7r + e^{rt}12 & = 0\\e^{rt} (r^2 + 7r + 12) & = 0\\r^2 + 7r + 12 & = 0\\r_{1, 2} & = \frac{-7 \pm \sqrt{49-48}}{2}\\r_{1, 2} & = -3.5 \pm 0.5\end{aligned}[/tex]Karena solusi persamaan karakteristik bernilai real, maka solusi persamaan diferensial akan berbentuk[tex]\begin{aligned}\\y(x) = c_1 e^{r_1x} + c_2 e^{r_2x} + y_p(x)\end{aligned}[/tex]Untuk mencari solusi khusus (atau particular solution) [tex]y_p[/tex], amati bahwa sisi kanan hanya merupakan polinomial sederhana, sehingga asumsikan fungsi y seperti berikut[tex]\begin{aligned}\\y_p & = ax + b\\y(x) & = e^{rx} + y_p\\y(x) & = e^{rx} + ax + b\end{aligned}[/tex]Subtitusikan kembali ke persamaan awal, tetapi karena [tex]e^{rx}[/tex] telah diselesaikan pada persamaan homogen, abaikan suku tersebut[tex]\begin{aligned}\\(ax + b)'' + 7(ax + b)' + 12(ax + b) & = 6 + 2x\\7a + 12ax + 12b & = 2x + 6\\12ax + (7a + 12b) & = 2x + 6\end{aligned}[/tex]Didapatkan dua persamaan untuk mencari nilai a dan b[tex]\begin{aligned}\\12a & = 2\\a & = \frac{1}{6}\end{aligned}[/tex] [tex]\begin{aligned}\\7a + 12b & = 6\\b & = \frac{1}{12} (6 - \frac{7}{6})\\b & = \frac{29}{72}\end{aligned}[/tex]Maka subtitusikan kembali ke solusi persamaan non-homogen untuk mendapatkan solusi akhir[tex]\begin{aligned}y(x) = c_a e^{-3x} + c_2 e^{-4x} + \frac{x}{6} + \frac{29}{72}\end{aligned}[/tex]Subsoal bMirip seperti sebelumnya, cari r atau solusi dari persamaan karakterisik[tex]\begin{aligned}\\r^2 + 5r + 12 &= 0\\r_{1, 2} & = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2}\\r_{1, 2} & = \frac{-5 \pm \sqrt{23}i}{2}\\r_{1, 2} & = -\frac{5}{2}\pm \frac{\sqrt{23}}{2}i\\\end{aligned}[/tex]Namun kali ini solusi persamaan karakteristik merupakan akar kompleks, maka solusi untuk persamaan adalah[tex]\begin{aligned}\\y(x) = c_1 e^{\lambda x} \cos (\mu x) + c_2 e^{\lambda x} \sin (\mu x) + y_p(x)\end{aligned}[/tex]Dengan[tex]r_{1,2} = \lambda \pm \mu i[/tex]Dengan menggunakan teknik yang sama untuk mencari particular solution, didapatkan fungsi [tex]y_p[/tex][tex]\begin{aligned}\\(a)'' + 5(a)' + 12(a) & = 6\\0 + 0 + 12a &= 6\\a &= \frac{1}{2}\end{aligned}[/tex]Maka subtitusikan kembali untuk mendapatkan solusi akhir[tex]\begin{aligned}\\y(x) & = c_1 e^{\lambda x} \cos (\mu x) + c_2 e^{\lambda x} \sin (\mu x) + y_p(x)\\y(x) & = c_1 e^{-\frac{5}{2}x} \cos (\frac{\sqrt{23}}{2}x) + c_2 e^{-\frac{5}{2}x} \sin (\frac{\sqrt{23}}{2}x) + \frac{1}{2}\end{aligned}[/tex]Terlampir solusi akhir dari hasil render latex$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh TanurRizal dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 22 Apr 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

carilah solusi dari persamaan diferensial berikut : ​

Jawaban dan Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika

carilah solusi dari persamaan diferensial berikut :