Jawaban:

ln|y| = (1/2)x^2 + x + C atau y = Ae^{(1/2)x^2+x}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pertama-tama, kita dapat mencari turunan pertama y dengan menggunakan aturan rantai, yaitu:

y' = dy/dx

Selanjutnya, kita dapat mensubstitusikan y' ke dalam persamaan diferensial awal, sehingga kita mendapatkan:

y - (dy/dx)(x+1) = 0

Kita bisa mengubah persamaan di atas menjadi:

y = (dy/dx)(x+1)

Selanjutnya, kita dapat memisahkan variabel x dan y dengan membagi kedua sisi persamaan dengan (x+1) dan memindahkan variabel y ke satu sisi persamaan, sehingga kita mendapatkan:

Selanjutnya, kita dapat memisahkan variabel x dan y dengan membagi kedua sisi persamaan dengan (x+1) dan memindahkan variabel y ke satu sisi persamaan, sehingga kita mendapatkan:

y/y' = x+1

Kita bisa mengintegrasikan kedua sisi persamaan di atas terhadap variabel x untuk mendapatkan solusi umum dari persamaan diferensial tersebut:

∫ y/y' dx = ∫ (x+1) dx

Dalam operasi integrasi di sisi kiri persamaan, kita dapat melakukan substitusi u = y sehingga du/dx = y', sehingga persamaan tersebut dapat ditulis sebagai:

∫ du/u = ∫ (x+1) dx

ln|u| = (1/2)x^2 + x + C

Dalam persamaan di atas, C adalah konstanta integrasi yang belum diketahui. Kita dapat mengekspresikan nilai u dengan mengembalikan substitusi yang kita buat sebelumnya:

u = y

Sehingga, solusi umum dari persamaan diferensial y - y'(x+1) = 0 adalah:

ln|y| = (1/2)x^2 + x + C

atau

y = Ae^{(1/2)x^2+x}

di mana A adalah konstanta yang belum diketahui dan merupakan hasil eksponensiasi dari konstanta integrasi C.