ada yang bisa menjawab dan menjelaskan

Berikut ini adalah pertanyaan dari baradhamanikmaya123 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Ada yang bisa menjawab dan menjelaskan

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\large\text{$\begin{aligned}&\int\frac{dy}{y^{\frac{1}{3}}\left(5-y^{\frac{2}{3}}\right)^2}\\&=\boxed{\,\vphantom{\bigg|}\frac{3}{10-2y^{\frac{2}{3}}}+C\,}\end{aligned}$}$

Hasil tersebut diperoleh dengan menerapkan integral substitusi pada langkah penyelesaian.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

$\begin{aligned}&\int\frac{dy}{y^{\frac{1}{3}}\left(5-y^{\frac{2}{3}}\right)^2}\\&{\bullet\ }\textsf{Persiapkan integral substitusi.}\\&{=\ }\int\frac{1}{\left(5-y^{\frac{2}{3}}\right)^2}\cdot\frac{dy}{y^{\frac{1}{3}}}\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil $u=5-y^{\frac{2}{3}}$}.\\&\Rightarrow du=-\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\,dy=\left(-\frac{2}{3}\right)\frac{dy}{y^{\frac{1}{3}}}\\&\Rightarrow \frac{dy}{y^{\frac{1}{3}}}=-\frac{3}{2}\,du\end{aligned}\right.\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\int\frac{1}{u^2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\,du\right)\\&{=\ }{-}\frac{3}{2}\int\frac{1}{u^2}\,du\\&{=\ }{-}\frac{3}{2}\int u^{-2}\,du\\&{=\ }{-}\frac{3}{2}\left(\frac{u^{-2+1}}{-2+1}\right)\\&{=\ }{-}\frac{3}{2}\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)\\&{=\ }\frac{3}{2}u^{-1}\,=\,\frac{3}{2u}\\&{\bullet\ }\textsf{Substitusi kembali $u$.}\\&{=\ }\frac{3}{2\left(5-y^{\frac{2}{3}}\right)}\,=\,\frac{3}{10-2y^{\frac{2}{3}}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{\bullet\ }\textsf{Tambahkan konstanta pada hasil akhir.}\\&{=\ }\boxed{\,\vphantom{\bigg|}\frac{3}{10-2y^{\frac{2}{3}}}+C\,}\end{aligned}$
$\blacksquare$