1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus, [tex] F(x)= \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}

Berikut ini adalah pertanyaan dari samuel312021058 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus, F(x)= \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left[\displaystyle \int\limits_a^x f(t) \, \mathrm dt\right] .Tentukanlah nilai turunan dari integral berikut.
a. \displaystyle \int\limits_{4}^{x}{{9{{\cos }^2}\left( {{t^2} - 6t + 1} \right)\,\mathrm dt}}
b. \displaystyle \int\limits_{7}^{{\sin \left( {6x} \right)}}{{\sqrt {{t^2} + 4}\,\mathrm dt}}
c. \displaystyle \int\limits_{{\sqrt x }}^{{4x}}{{{t^2}\sin \left( {9 + {t^2}} \right)\,\mathrm{d}t}}
d. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle \int\limits_{1}^{x^2}e^{2t}\,\mathrm dt}{x}

​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

a. \displaystyle \int\limits_4^x 9\cos^2(t^2-6t+1) \, \mathrm dt

Dengan rumus, F(x) =\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[\int\limits^x_a {f(t)} \, \mathrm dx\right]. maka, jika F(x)=\displaystyle \int\limits_4^x 9\cos^2(t^2-6t+1) \,\mathrm dt, F'(x)\implies?

Untuk itu mari kita cari turunannya.

\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[\int\limits^x_4 {9\cos^2(t^2-6t+1)} \,\mathrm dt \right] = 9\cos^2(x^2-6x+1)

b. \displaystyle \int\limits_7^{\sin(6x)}\sqrt{t^2+4} \,\mathrm dt

Untuk soal yang ke b ini, kita perlu menggunakan Aturan Rantai (Chain Rule), yang mana diekspresikan dalam rumus berikut.

\displaystyle \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

Mari kita aplikasikan rumus aturan rantai tersebut dengan teorema dasar kalkulus kedua.

Asumsikan u=\sin(6x), maka

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \displaystyle \int\limits_7^{\sin(6x)} \sqrt{t^2+4} \,\mathrm dt \right] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left[ \displaystyle \int\limits_7^u \sqrt{t^2+4} \,\mathrm dt \right]\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\ &=\left( \sqrt{u^2+4} \right)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\ &= \left( \sqrt{\sin^2(6x)+4} \right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \sin(6x) \right] \\ &=\left( \sqrt{\sin^2(6x)+4} \right)(6\cos(6x)) \\ &=6\sqrt{\sin^2(6x)+4}\cos(6x) \end{aligned}

c. \displaystyle\int\limits_{\sqrt{x}}^{4x} {t^2\sin(9+t^2)} \, \mathrm dt

Dengan menggunakan sifat integral tentu dibawah ini.

\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x) \,\mathrm dx+\int\limits_b^c f(x) \,\mathrm dx =\int\limits_a^c f(x)\,\mathrm dx

Maka,

\begin{aligned}\displaystyle\int\limits_{\sqrt x}^{4x} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt &=\int\limits_{\sqrt x}^{1} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt + \int\limits_{1}^{4x} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt \\ &=-\int\limits_{1}^{\sqrt x} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt + \int\limits_{1}^{4x} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt \end{aligned}

Oleh sebab itu, mari kita mengerjakannya secara terpisah

F_1(x) =\displaystyle -\int\limits_{1}^{\sqrt x} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt

\begin{aligned}\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ -\int\limits_{1}^{\sqrt x} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt \right] =- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \int\limits_{1}^{\sqrt x} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt \right] &=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left[ \displaystyle \int\limits_1^u t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dx \right]\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\ &=-\left( u^2\sin(9+u^2) \right)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\ &=-\left( \left(\sqrt{x} \right)^2\sin\left( 9+\left( \sqrt{x} \right)^2 \right) \right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \sqrt{x} \right] \\ &=-\left( x\sin(9+x) \right)\left( \frac{1}{2x^{1/2}} \right) \\ &=-\frac{x^{1/2}\sin(9+x)}{2} \end{aligned}

\begin{aligned} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\int\limits_{1}^{4x} t^2\sin(9+t^2) \,\mathrm dt \right] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left[ \int\limits_{1}^{u}t^2\sin(9+t^2)\,\mathrm dt \right]\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\ &=\left( u^2\sin\left( 9+u^2 \right) \right)\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\\ &=\left( \left( 4x \right)^2\sin\left( 9+(4x)^2 \right) \right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ 4x \right] \\ &=(16x^2\sin(9+16x^2))(4) \\ &=64x^2\sin(9+16x^2) \end{aligned}

Maka, \displaystyle\int\limits_{\sqrt{x}}^{4x} {t^2\sin(9+t^2)} \, \mathrm dt \implies\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \displaystyle\int\limits_{\sqrt{x}}^{4x} {t^2\sin(9+t^2)} \, \mathrm dt \right]= -\frac{x^{1/2}\sin(9+x)}{2}+64x^2\sin(9+16x^2)

d.\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int\limits_1^{x^2} {e^{-2t}} \, \mathrm dt }{x}

Untuk menjawab soal ini, kita harus mencari turunan dari fungsi tersebut terlebih dahulu baru menyelesaikan limitnya.

\begin{aligned}\displaystyle \int\limits_1^{x^2} {e^{-2t}} \, \mathrm dt \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \displaystyle \int\limits_1^{x^2} {e^{-2t}} \, \mathrm dt \right] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left[ \int\limits_1^{u} {e^{-2t}} \, \mathrm dt \right]\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\ &=\left( e^{-2u} \right)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\ &=\left( e^{-2x^2} \right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ x^2 \right] \\ &=\left( e^{-2x^2} \right)(2x) \\ &=2xe^{-2x^2} \end{aligned}

Kemudian untuk limitnya,

\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int\limits_1^{x^2} {e^{-2t}} \, \mathrm dt }{x}&=\lim_{x\to0}\frac{2xe^{-2x^2}}{x} \\ &= \lim_{x\to0}\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ 2xe^{-2x^2} \right]}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ x \right]} \\ &=\lim_{x\to0}2e^{-2x^2}-8x^2e^{-2x^2} \\ &=2e^{-2(0)^2}-8(0)^2e^{-2(0)^2} \\ &=2 \end{aligned}

Itulah jawaban yang bisa saya berikan. Jika ada kesalahan, Anda dapat menotifikasikan saya melalui kolom komentar dibawah ini.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh arthurkangdani dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 13 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>