Tentukan nilai dari [tex]\displaystyle \cos^4 \frac{\pi}{8}+\cos^4 \frac{3\pi}{8}+\cos^4 \frac{5\pi}{8}+\cos^4 \frac{7\pi}{8}[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan nilai dari \displaystyle \cos^4 \frac{\pi}{8}+\cos^4 \frac{3\pi}{8}+\cos^4 \frac{5\pi}{8}+\cos^4 \frac{7\pi}{8}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{5\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{7\pi}{8}\right)\\&=\boxed{\vphantom{\bigg|}\,\bf\frac{3}{2}\,}\end{aligned}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Trigonometri

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persoalan ini. Penyelesaian di bawah ini menggunakan identitas trigonometridansifat fungsi kuadrat yang cukup mendasar.

\begin{aligned}&\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{5\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{7\pi}{8}\right)\\&{=\ }\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{8}\right)\\&\quad\rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x)\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\left[-\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\right]^4+\left[-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{8}\right)\right]^4\\&{=\ }\sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)\\&\quad\rightarrow a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2(ab)^2\\\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)\right]^2-2\left[\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\right]^2\\&\quad+\left[\sin^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right]^2-2\left[\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right]^2\\&\quad\rightarrow \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\\&\quad\rightarrow 2[\sin(x)\cos(x)]^2=\frac{1}{2}\sin^2(2x)\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }1-\frac{1}{2}\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+1-\frac{1}{2}\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)\\&{=\ }2-\frac{1}{2}\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]\\&{=\ }2-\frac{1}{2}\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right]\\&\quad\rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }2-\frac{1}{2}\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\\&{=\ }2-\frac{1}{2}\left[1\right]\\&{=\ }\boxed{\vphantom{\bigg|}\,\bf\frac{3}{2}\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 04 Apr 23