Kuis ⁽³⁵⁾ Asimtot datar dari f(x) = (1 + ⁿ/ₓ) ˣ adalah [a]⠀y =

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis ⁽³⁵⁾Asimtot datar dari
f(x) = (1 + ⁿ/ₓ) ˣ
adalah

[a]⠀y = ne
[b]⠀y = n^e
[c]⠀y = eⁿ
[d]⠀y = n+eⁿ
[e]⠀y = ne + e

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Asimtot datardarif(x) = (1 + ⁿ/ₓ) ˣadalahy = eⁿ.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Fungsi $y = f(x)$ memiliki asimtot datar $y = c$ jika terpenuhi

$\begin{aligned}&\lim_{x\to+\infty}f(x)=c\\&\quad{\sf atau}\\&\lim_{x\to-\infty}f(x)=c\end{aligned}$

dengan $c \not\in \{+\infty,\,-\infty\}$ .

Kita selidiki untuk $x$ mendekati $+\infty$ .

$\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}f(x)&=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{n}{x}\right)^x\\&=\lim_{x\to+\infty}e^{\ln\left(1+\frac{n}{x}\right)^x}\\&=\lim_{x\to+\infty}e^{x\ln\left(1+\frac{n}{x}\right)}\\&=e^{\left[\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac{n}{x}\right)\right]}\quad...(\star)\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac{n}{x}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{n}{x}\right)}{1/x}\\&\quad\rightarrow \textsf{0/0: L'Hopital-in aja.}\\&{=\ }\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{d}{dx}\left[\ln\left(1+\frac{n}{x}\right)\right]}{\frac{d}{dx}(1/x)}\\&{=\ }\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{d}{dx}\left[\ln\left(\frac{x+n}{x}\right)\right]}{-1/x^2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to+\infty}(-x^2)\left[\frac{1}{\frac{x+n}{x}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x+n}{x}\right)\right]\\&{=\ }\lim_{x\to+\infty}(-x^2)\left[\frac{x}{x+n}\cdot\frac{d}{dx}\left(1+nx^{-1}\right)\right]\\&{=\ }\lim_{x\to+\infty}(-\cancel{x^2})\left[\frac{x}{x+n}\cdot\left(-n\cancel{x^{-2}}\right)\right]\\&{=\ }\lim_{x\to+\infty}\frac{nx}{x+n}\\&{=\ }n\cdot\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+n}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }n\cdot\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{x+n}\cdot\frac{1/x}{1/x}\right)\\&{=\ }n\cdot\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{n}{x}}\\&{=\ }n\cdot\frac{1}{1}\\&{=\ }n\end{aligned}$